Funkcja Mobiusa

[daga791]

Jak wykazać, że funkcja Mobiusa jest multiplikatywna?

[Premislav]

Pokażemy, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b\in \NN^+}\) spełniających \(\displaystyle{ \NWD(a,b)=1}\) jest \(\displaystyle{ \mu(ab)=\mu(a)\cdot\mu(b)}\).
Rozważmy następujące przypadki:
1) \(\displaystyle{ a=1}\) lub \(\displaystyle{ b=1}\), bez straty ogólności \(\displaystyle{ a=1}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \mu(a)\mu(b)=\mu(1)\mu(b)=1\cdot \mu(b)=\mu(ab)=\mu(b)}\)
2) niech co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) będzie podzielna przez kwadrat pewnej liczby pierwszej, bez straty ogólności niech będzie to \(\displaystyle{ a}\). Wówczas \(\displaystyle{ \mu(a)=0}\) i oczywiście \(\displaystyle{ ab}\) też dzieli się przez kwadrat liczby pierwszej (np. tej samej, co \(\displaystyle{ a}\)), więc
\(\displaystyle{ \mu(a)\mu(b)=0\cdot \mu(b)=0=\mu(ab)}\)
3) niech żadna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) nie będzie równa \(\displaystyle{ 1}\) ani podzielna przez kwadrat liczby pierwszej.
Wówczas możemy zapisać
\(\displaystyle{ a=p_1p_2\ldots p_n}\) oraz \(\displaystyle{ b=q_1q_2\ldots q_m}\),
gdzie \(\displaystyle{ p_i, \ q_j}\) są liczbami pierwszymi i skoro \(\displaystyle{ \NWD(a,b)=1}\), to
\(\displaystyle{ \left\{ p_1, p_2\ldots p_n\right\}\cap\left\{ q_1, q_2\ldots q_m\right\} =\varnothing}\).
Zatem \(\displaystyle{ ab=p_1p_2\ldots p_n \cdot q_1q_2\ldots q_m}\) jest iloczynem \(\displaystyle{ n+m}\) parami rożnych liczb pierwszych i mamy
\(\displaystyle{ \mu(a)\mu(b)=(-1)^n(-1)^m=(-1)^{n+m}=\mu(ab )}\)
c.k.d.

[PoweredDragon]

Zakładając, że \(\displaystyle{ kp^2}\) i \(\displaystyle{ p_1 p_2 p_3 ... p_l}\) nie mają wspólnych czynników pierwszych mamy
\(\displaystyle{ \mu(kp^2 \cdot p_1 p_2 p_3 ... p_l) = 0 = 0 \cdot (-1)^l= \mu(kn^2) \mu(p_1 p_2 p_3 ... p_l)}\), więc się zgadza

\(\displaystyle{ \mu(1 \cdot kp^2) = \mu(kp^2) = \mu(1) \mu(kp^2)}\), więc się zgadza

\(\displaystyle{ \mu(1 \cdot p_1 p_2 p_3 ... p_n) = \mu(p_1 p_2 p_3 ... p_n) = \mu(1) \mu(p_1 p_2 p_3 ... p_n)}\), więc też się zgadza.

\(\displaystyle{ \mu(q_1 q_2 ... q_n p_1 p_2 ... p_k) = (-1)^{n+k} = (-1)^n (-1)^k = \mu(q_1 q_2 ... q_n) \mu( p_1 p_2 ... p_k)}\), więc się zgadza

\(\displaystyle{ \mu(kp^2 l q^2) = 0 = 0 \cdot 0 = \mu(kp^2) \mu(kq^2)}\), więc się zgadza

\(\displaystyle{ \mu (1 \cdot 1) = \mu (1) = 1 = 1 \cdot 1 = \mu(1) \mu(1)}\), więc się zgadza
Ubrać to w ładne słowa i wyciągnąć wnioski