Małe twierdzenie Fermata

[westkan46]

W jaki sposób - za pomocą małego twierdzenia Fermata - pokazać, że \(\displaystyle{ 2^{12}-1}\) nie jest liczbą pierwszą?

[Chewbacca97]

Jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą i \(\displaystyle{ p \nmid a}\) to \(\displaystyle{ p|a^{p-1}-1}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 13 \nmid 2}\), więc warunki są spełnione.

Zatem: \(\displaystyle{ 2^{13-1} - 1 \equiv 0 \pmod{13}}\), zatem \(\displaystyle{ 2^{12} - 1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 13}\), a zatem nie jest liczbą pierwszą.

[westkan46]

Jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą i \(\displaystyle{ p \nmid a}\) to \(\displaystyle{ p|a^{p-1}-1}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 13 \nmid 2}\), więc warunki są spełnione.

skąd to 13?

[Chewbacca97]

Ponieważ masz \(\displaystyle{ 2^{p-1}-1 = 2^{12} - 1 \Rightarrow 2^{p-1} = 2^{12} \Rightarrow p-1 = 12 \Rightarrow p=13}\).

[westkan46]

Dziękuję bardzo za pomoc, już wszystko rozumiem