Witam, zupełnie nie potrafię rozwiązać tego zadania, wszelkie próby kończą się na pozostawieniu dwóch niewiadomych w równaniu, które nie dają mi żadnego tropu. Proszę o wszelkie wskazówki. Pytanie jest wielokrotnego wyboru.Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą pięciocyfrową, taką że \(\displaystyle{ n=100q+r}\), \(\displaystyle{ 0 \le r<100}\). Suma \(\displaystyle{ q+r}\) jest:
a) podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\) dla \(\displaystyle{ 9090}\) liczb \(\displaystyle{ n}\)
b) podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\) dla \(\displaystyle{ 8181}\) liczb \(\displaystyle{ n}\)
c) podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\) wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez \(\displaystyle{ 9}\)
d) podzielna przez \(\displaystyle{ 9}\) dla \(\displaystyle{ 10000}\) liczb \(\displaystyle{ n}\).
Podzielność liczby określonej niewiadomymi
Podzielność liczby określonej niewiadomymi
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Podzielność liczby określonej niewiadomymi
Zauważ, że \(\displaystyle{ q+r\equiv 100q+r\pmod{11}}\), zaś liczb pięciocyfrowych podzielnych przez \(\displaystyle{ 11}\) mamy, jak się zdaje,
\(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{99 999}{11} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{9999}{11} \right\rfloor}\) i to sobie pod kreską policz albo coś,
podobnie \(\displaystyle{ 100q+r\equiv q+r\pmod{9}}\).
\(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{99 999}{11} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{9999}{11} \right\rfloor}\) i to sobie pod kreską policz albo coś,
podobnie \(\displaystyle{ 100q+r\equiv q+r\pmod{9}}\).
Re: Podzielność liczby określonej niewiadomymi
Nie miałam jeszcze przystawania i mimo, że po przekopaniu internetu sam w sobie zapis rozumiem, to nadal nie potrafię tego połączyć z tym zadaniem, mógłbyś trochę bardziej naprowadzić?Premislav pisze:Zauważ, że \(\displaystyle{ q+r\equiv 100q+r\pmod{11}}\)
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Podzielność liczby określonej niewiadomymi
Można to zrobić bardziej opisowo, bez kongruencji, ale sens jest ten sam:
ponieważ dla dowolnego \(\displaystyle{ q}\) naturalnego (a nawet całkowitego) mamy \(\displaystyle{ 99q=11\cdot 9q}\), czyli liczba \(\displaystyle{ 99q}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\), zatem reszta z dzielenia liczby \(\displaystyle{ q+r}\) przez \(\displaystyle{ 11}\) jest taka sama, jak reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 100q+r}\) przez \(\displaystyle{ 11}\), a to dlatego, że z tego co powyżej wynika, iż liczby \(\displaystyle{ q+r, \ 100q+r}\) różnią się o wielokrotność \(\displaystyle{ 11}\)(mamy \(\displaystyle{ 100q+r-(q+r)=99q}\)).
Zatem wystarczy zliczyć liczby pięciocyfrowe podzielne przez \(\displaystyle{ 11}\): w tym celu liczymy ile jest liczb całkowitych dodatnich o co najwyżej pięciu cyfrach, które są podzielne przez \(\displaystyle{ 11}\) i odejmujemy od tego liczbę tych, które mają co najwyżej cztery cyfry i są podzielne przez \(\displaystyle{ 11}\).
I analogicznie z tym drugim: z uwagi na to, że dla dowolnego \(\displaystyle{ q}\) naturalnego (a nawet całkowitego) jest \(\displaystyle{ 99q=9\cdot 11q}\), a więc liczba \(\displaystyle{ 99q}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 9}\), widzimy, że liczba \(\displaystyle{ q+r}\) daje taką samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 9}\), co \(\displaystyle{ 100q+r}\), gdyż \(\displaystyle{ 100q+r(q+r)=99q}\) jest (j.w.) podzielna przez \(\displaystyle{ 9}\).
Wobec tego wystarczy zliczyć liczby pięciocyfrowe podzielne przez \(\displaystyle{ 9}\): w tym celu liczymy ile jest liczb całkowitych dodatnich podzielnych przez \(\displaystyle{ 9}\) o co najwyżej pięciu cyfrach i odejmujemy od tego liczbę tych liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 9}\), które mają co najwyżej cztery cyfry.
Oczywiście każdą liczbę pięciocyfrową (jak i inną liczbę całkowitą) możemy przedstawić w postaci \(\displaystyle{ 100q+r}\), gdzie \(\displaystyle{ q \in \ZZ, \ r \in\left\{ 0,1,2\ldots 99\right\}}\).
ponieważ dla dowolnego \(\displaystyle{ q}\) naturalnego (a nawet całkowitego) mamy \(\displaystyle{ 99q=11\cdot 9q}\), czyli liczba \(\displaystyle{ 99q}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\), zatem reszta z dzielenia liczby \(\displaystyle{ q+r}\) przez \(\displaystyle{ 11}\) jest taka sama, jak reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 100q+r}\) przez \(\displaystyle{ 11}\), a to dlatego, że z tego co powyżej wynika, iż liczby \(\displaystyle{ q+r, \ 100q+r}\) różnią się o wielokrotność \(\displaystyle{ 11}\)(mamy \(\displaystyle{ 100q+r-(q+r)=99q}\)).
Zatem wystarczy zliczyć liczby pięciocyfrowe podzielne przez \(\displaystyle{ 11}\): w tym celu liczymy ile jest liczb całkowitych dodatnich o co najwyżej pięciu cyfrach, które są podzielne przez \(\displaystyle{ 11}\) i odejmujemy od tego liczbę tych, które mają co najwyżej cztery cyfry i są podzielne przez \(\displaystyle{ 11}\).
I analogicznie z tym drugim: z uwagi na to, że dla dowolnego \(\displaystyle{ q}\) naturalnego (a nawet całkowitego) jest \(\displaystyle{ 99q=9\cdot 11q}\), a więc liczba \(\displaystyle{ 99q}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 9}\), widzimy, że liczba \(\displaystyle{ q+r}\) daje taką samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 9}\), co \(\displaystyle{ 100q+r}\), gdyż \(\displaystyle{ 100q+r(q+r)=99q}\) jest (j.w.) podzielna przez \(\displaystyle{ 9}\).
Wobec tego wystarczy zliczyć liczby pięciocyfrowe podzielne przez \(\displaystyle{ 9}\): w tym celu liczymy ile jest liczb całkowitych dodatnich podzielnych przez \(\displaystyle{ 9}\) o co najwyżej pięciu cyfrach i odejmujemy od tego liczbę tych liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 9}\), które mają co najwyżej cztery cyfry.
Oczywiście każdą liczbę pięciocyfrową (jak i inną liczbę całkowitą) możemy przedstawić w postaci \(\displaystyle{ 100q+r}\), gdzie \(\displaystyle{ q \in \ZZ, \ r \in\left\{ 0,1,2\ldots 99\right\}}\).