Składniki iloczynu

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) będą kolejnymi liczbami pierwszymi nieparzystymi. Udowodnić, że \(\displaystyle{ p+q}\) jest iloczynem co najmniej trzech liczb naturalnych większych od \(\displaystyle{ 1}\) (niekoniecznie różnych).

[Premislav]

Co?
\(\displaystyle{ p<\frac{p+q}{2}<q}\) gdy \(\displaystyle{ p<q}\), więc skoro \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są kolejnymi liczbami pierwszymi nieparzystymi, to liczba \(\displaystyle{ \frac{p+q}{2}}\) po pierwsze jest całkowita, a po drugie nie może być liczbą pierwszą. Więc istnieje jakiś nietrywialny dzielnik \(\displaystyle{ r}\) liczby \(\displaystyle{ \frac{p+q}{2}}\) (tj. mniejszy od niej a większy od \(\displaystyle{ 1}\)), no to wtedy
\(\displaystyle{ p+q=2\cdot r\cdot \frac{p+q}{2r}}\)

[arek1357]

jeśli \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są kolejnymi liczbami pierwszymi nieparzystymi, to\(\displaystyle{ p+q}\) jest parzyste, więc \(\displaystyle{ 2}\) dzieli \(\displaystyle{ p+q}\). Stąd \(\displaystyle{ p+q = 2s}\). Jeśli \(\displaystyle{ s}\) byłoby liczbą pierwszą, to s leżałby między \(\displaystyle{ p}\) i\(\displaystyle{ q}\), sprzeczność , cnd...

Kto jest szybszy od Premislava

odp.:

Ukryta treść:    

Chuck Norris