Przedstawialność liczby naturalnej.

[MKultra]

Cześć!

Zastanawiam się kiedy układ równań dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a _{1} x+b _{1} \\a _{2}x+b _{2} \\ ... \\a _{s}x+b _{s} \end{array}}\)
Opisuje wszystkie liczby naturalne.

Za odpowiedź dziękuję.

Pozdrawiam.

[Janusz Tracz]

1) To nie jest układ równań bo nigdzie nie ma znaku \(\displaystyle{ =}\).
2) Czym jest \(\displaystyle{ a_s}\) oraz \(\displaystyle{ b_s}\)

[MKultra]

\(\displaystyle{ a,b}\) są naturalne. A nie jest to układ równań, bo nie wiem jak lepiej zapisać zdanie, że dowolne naturalne \(\displaystyle{ n}\) ma być równe któryś z wyrażeń w klamrze

[Janusz Tracz]

Jeśli zbiór liczb naturalnych jest bez zera to żadna z tych liczb nie będzie \(\displaystyle{ 1}\) więc nie uda Ci się "wygenerować" jedynki więc odpowiedź jest negatywna.

Jeśli w zbiorze liczb naturalnych jest zero to można przyjąć \(\displaystyle{ a_n=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) oraz \(\displaystyle{ b_n=n}\) i dostaniesz wszystkie liczby naturalne takim zbiorze.

[MKultra]

tyle, że \(\displaystyle{ a,b}\) są dane.

[Dasio11]

Twoje pytanie jest sformułowane bardzo nieprecyzyjnie, przez co nie wiadomo, o co pytasz.

Ja interpretuję tak: dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_1, b_1, \ldots, a_s, b_s}\) jest prawdą, że każda liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) daje się wyrazić w postaci \(\displaystyle{ n = a_i \cdot x+ b_i,}\) gdzie \(\displaystyle{ x \in \NN,}\) dla przynajmniej jednego \(\displaystyle{ i \in \{ 1, 2, \ldots, s \}}\) ?

Formalnie: dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_1, b_1, \ldots, a_s, b_s}\) prawdziwe jest zdanie

\(\displaystyle{ (\forall n \in \NN) \bigvee_{i=1}^s (\exists x \in \NN) \, n = a_i \cdot x + b_i}\) ?

Jeszcze inaczej: dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_1, b_1, \ldots, a_s, b_s}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \NN = \bigcup_{i=1}^s \{ a_i \cdot x + b_i : x \in \NN \}}\) ?

Czy o to pytanie Ci chodzi? I czy uznajesz \(\displaystyle{ 0}\) za liczbę naturalną?

[MKultra]

Dasio11, Tak oto mi chodziło. I w tym przypadku uwzględniam \(\displaystyle{ 0}\) jako liczbę naturalną.