Algebra udowodnij

[Piasek96]

1. Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą i \(\displaystyle{ p|k^n}\) to \(\displaystyle{ p|k}\). Czy jeżeli \(\displaystyle{ p}\) nie jest pierwsza to ten warunek też jest prawdziwy?
2. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dowolnymi liczbami całkowitymi. Zdefniować \(\displaystyle{ NWD(a, b, c)}\) i udowodnić, że \(\displaystyle{ NWD(a, b, c) = NWD(NWD(a,b), c) = NWD(a,NWD(b, c))}\).
Podać algorytm na wyznaczanie \(\displaystyle{ NWD(a, b, c)}\).

[PoweredDragon]

1. Zastanów się, czy jeśli \(\displaystyle{ p \mid k^n}\), może zachodzić \(\displaystyle{ p \nmid k}\). W jakiej potędze musi występować \(\displaystyle{ p}\) w rozkładzie \(\displaystyle{ k^n}\) na czynniki? Dlaczego? Czy jak \(\displaystyle{ p}\) nie jest pierwsza (np. \(\displaystyle{ 4}\)) to musi dzielić \(\displaystyle{ k^n}\)? Dlaczego tak/nie? Odpowiedź wynika wprost z definicji liczby pierwszej i zasadniczego twierdzenia arytmetyki. Dowód jest raczej opisowy.

[Piasek96]

Tzn gdybym wiedziała właśnie jak to opisać to bym nie wstawiła tego pytania

[PoweredDragon]

Nie wstawiłaś pytanie, tylko poprosiłaś o rozwiązanie. A ja dałem ci wskazówki do rozwiązania problemu.

[Piasek96]

A jak to rozwiązać bo wskazówek nie rozumiem nie wiem jak to właśnie spójnie opisać

[a4karo]

To najpierw opisz to "niespójnie" (czyli pokaż jak próbujesz rozumować), a potem pomożemy to "uspójnić"

Przyjrzałaś się paru przykładom, czy ograniczyłaś się do zadania pytania? Popatrz np na \(\displaystyle{ 36}\)

I popraw Latexa

[Piasek96]

Starałam się to ogarnąć Ale nie rozumiem myślałam że ktoś mi to rozwiąże jeżeli pytanie źle zadane to jedyne nowa i nie wiem jak tu wszystko działa

[a4karo]

Najprościej to ogarnąć przyglądając się przykładom. A to musisz zrobić sama.

Tu wszystko działa tak, że dajemy wskazówki i oczekujemy od Ciebie samodzielnej pracy nad tymi wskazówkami.

Nie rozwiązujemy zadań (za to się płaci korepetytorom), robimy to dla własnej satysfakcji. A nagroda dla nas to fakt, że ta druga strona pracuje i zrozumie.

[Premislav]

Ja tam czasem daję gotowce, żeby się dowartościować, bo nikt mnie nie lubi.

nie lubię poniedziałków i opisówek:    

Zadanie pierwsze idzie też tak (chociaż to trochę armata na wróble);
przypuśćmy nie wprost, że dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \NN, \ n \in \NN}\) i dla pewnej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) mamy \(\displaystyle{ p|k^n}\), lecz \(\displaystyle{ p\nmid k}\). Skoro \(\displaystyle{ p\nmid k}\), to \(\displaystyle{ \NWD(p,k)=1}\) (bo \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą), a zatem z małego tw. Fermata \(\displaystyle{ k^{p-1}\equiv 1\pmod{p}}\). W związku z tym
z jednej strony, skoro \(\displaystyle{ k^n\equiv 0\pmod{p}}\), to \(\displaystyle{ (k^{n})^{p-1}=k^{n(p-1)}\equiv 0\pmod{p}}\), a z drugiej strony \(\displaystyle{ (k^{p-1)})^n=k^{n(p-1)}\equiv 1^{n}\pmod{p}}\), czyli \(\displaystyle{ 0\equiv 1\pmod{p}}\), a to jest oczywista sprzeczność.
A co do drugiej części zadania pierwszego, popatrz na dwójkę i czwórkę, jak zasugerował PoweredDragon.