Liczby pierwsze i różnice kwadratów

[Hatsjie]

Jakie liczby pierwsze są różnicami kwadratów dwóch liczb naturalnych?

Tak na logikę to wyszło, że wszystkie oprócz \(\displaystyle{ 2}\) ale nie wiem jak to matematycznie zapisać
bo:
\(\displaystyle{ a^{2} - b^{2}}\) , gdzie \(\displaystyle{ a>b}\) i \(\displaystyle{ b>0}\)
więc
najmniejsza \(\displaystyle{ a}\) to \(\displaystyle{ 2}\)
a najmniejsza \(\displaystyle{ b}\) to \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ 2^{2} + 1^{2} = 4-1=3}\)
i wychodzi, że najmniejszą liczbą pierwszą, która jest różnicą kwadratów dwóch liczb naturalnych jest \(\displaystyle{ 3}\)

Tylko jak to lepiej zapisać?

[Premislav]

No masz rację, wszystkie oprócz \(\displaystyle{ 2}\).
Zwięźle zapisując, \(\displaystyle{ p=\left( \frac{p+1}{2}\right)^2 -\left( \frac{p-1}{2}\right)^2}\) i zarówno \(\displaystyle{ \frac{p+1}{2}}\) jak i \(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}}\) są całkowite dla liczby pierwszej \(\displaystyle{ p\ge 3}\) (bo takowa jest nieparzysta).-- 13 mar 2018, o 16:38 --A ponieważ kwadrat liczby całkowitej daje resztę \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\), więc różnica kwadratów daje resztę \(\displaystyle{ 0, 1}\) lub \(\displaystyle{ 3}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\).

[Janusz Tracz]

Można ogólniej zauważyć że każdą liczbę nieparzystą zapiszemy jako różnice kwadratów. Dowód \(\displaystyle{ (k+1)^2-k^2=2k+1}\). Więc każdą liczbę pierwszą z wyjątkiem \(\displaystyle{ 2}\) można tak zapisać. \(\displaystyle{ 2}\) odpada można to pokazać nie wprost ale teraz nie mam czasu bo idę poświęcić jajka.

[a4karo]

A dwójki się nie da, bo jeżeli \(\displaystyle{ 2=(a+b)(a-b)}\) to po prawej stronie są czynniki o tej samej parzystości, więc prawa strona jest równa co najmniej \(\displaystyle{ 4}\) lub jest nieparzysta.

[Janusz Tracz]

tak o to właśnie chodziło dziękuję a4karo.