Rozwiązać równanie w liczbach całkowitych

[ogioz]

Cześć! Czy można rozwiązać to zadanie, nie pchając się w kwadraty i potęgi?

Znaleźć wszystkie, różne liczby całkowite, takie że:

\(\displaystyle{ \sqrt{1084} = \sqrt{x} + \sqrt{y}}\)

[kerajs]

Można znaleźć całkoitoliczbowe rozwiązania:
\(\displaystyle{ \sqrt{1048}=1 \cdot \sqrt{1048}= \sqrt{1048}+\sqrt{0}=\sqrt{0}+\sqrt{1048}\\
\sqrt{1048}=2 \cdot \sqrt{271} = \sqrt{271}+ \sqrt{271}}\)
gorzej z wykazaniem że to wszystkie możliwości.

[dec1]

Mnożymy przez \(\displaystyle{ \sqrt{1084}}\):

\(\displaystyle{ 1084=\sqrt{1084x}+\sqrt{1084y}}\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ 1084y=(1084-\sqrt{1084x})^2=1084^2+1084x-2\cdot 1084\sqrt{1084x}}\), zatem \(\displaystyle{ \sqrt{1084x}}\) jest wymierne, a co za tym idzie całkowite, a więc \(\displaystyle{ 1084x}\) jest kwadratem. Analogicznie \(\displaystyle{ 1084y}\) jest kwadratem. Ponieważ \(\displaystyle{ 1084=2^2\cdot 271}\), mamy \(\displaystyle{ 271\mid x, y}\), a z AM-GM \(\displaystyle{ 0\leq x, y\leq 1084}\), zatem wystarczy podstawić 25 par do równania i sprawdzić czy działają.

[PoweredDragon]

zatem wystarczy podstawić 25 par do równania i sprawdzić czy działają.

Albo zauważyć, że \(\displaystyle{ 271x}\) i \(\displaystyle{ 271y}\) muszą być kwadratami, więc \(\displaystyle{ x = 1 \cdot 271}\) lub \(\displaystyle{ x =4 \cdot 271}\) i \(\displaystyle{ y = 1 \cdot 271}\) lub \(\displaystyle{ y = 4 \cdot 271}\)