Matematyka.pl

Udowodnij, że kwadrat liczby całkowitej daje przy dzieleniu przez 4 resztę 0 lub 1.

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu

Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ (a+2)^2 \equiv a^2+4a+4 \equiv a^2 \ (mod \ 4)}\)

Więc wystarczy rozpatrzeć jakie reszty z dzielenia przez 4 dają dwie kolejne liczby całkowite, np. 0 i 1:
\(\displaystyle{ 0^2 \equiv 0 \ (mod \ 4) \\ 1^2 \equiv 1 \ (mod \ 4)}\)

Co było do udowodnienia

Co to jest "mod" i co to jest ten "potrójny" znak równości ? Nie da się zrobić tego na poziomie trochę "łatwiejszym" ?

Są to kongruencje (poczytaj sobie o tym w kompendium i tak, da się to zrobić łatwiej:
niech \(\displaystyle{ a\in Z}\), a więc mozna a przedstawić jako:
\(\displaystyle{ a=4k}\) I przypadek
\(\displaystyle{ a=4k+1}\) II przypadek
\(\displaystyle{ a=4k+2}\) III przypadek
\(\displaystyle{ a=4k+3}\) IV przypadek
teraz:
\(\displaystyle{ a^{2}=(4k)^{2}=16k^{2}=4(4k^{2})}\)
\(\displaystyle{ a^{2}=(4k+1)^{2}=16k^{2}+8k+1=4*(4k^{2}+2k)+1}\)
\(\displaystyle{ a^{2}=(4k+2)^{2}=16k^{2}+16k+4=4*(4k^{2}+4k+1)}\)
\(\displaystyle{ a^{2}=(4k+3)^{2}=16k^{2}+24k+9=4*(4k^{2}+6k+2)+1}\)

Tam przy "trzeciej" a, tzn. 4k + 2, na końcu powinno być + 0, a nie + 1

tak, tak, już poprawiam