nierówność do wykazania

[Biel124]

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b:
suma kwadratów a i b oraz ich iloczynu jest większa lub równa trzykrotności sumie tych liczb minus jeden.

[Premislav]

Nie dokończyłeś tezy…

[Biel124]

już edytowałem

[MrCommando]

Teza jest nieprawdziwa. Kontrprzykład to \(\displaystyle{ a=b=1}\). Wówczas lewa strona jest równa \(\displaystyle{ a^2+b^2+ab=3}\), natomiast prawa \(\displaystyle{ 3(a+b)-1=5}\). Widać więc, że lewa jest mniejsza od prawej.

[Premislav]

Tak to miało wyglądać:
\(\displaystyle{ a^2+ab+b^2\ge 3(a+b)-1}\)
Ta nierówność nie jest w ogólności prawdziwa, weźmy \(\displaystyle{ a=b}\), a otrzymamy
\(\displaystyle{ 3b^2-6b+1\ge 0}\), co jest nieprawdą na przykład dla \(\displaystyle{ b=1}\).
A może miało być tak:
\(\displaystyle{ a^2+ab+b^2\ge 3(a+b-1)}\)
Wtedy można zauważyć, że
\(\displaystyle{ a^2+ab+b^2\ge\frac 3 4(a+b)^2 \Leftrightarrow (a-b)^2\ge 0}\), co jest oczywiste, a więc wystarczy pokazać, że
\(\displaystyle{ \frac 3 4(a+b)^2 \ge 3(a+b-1)\\ (a+b)^2\ge 4(a+b-1)\\ (a+b-2)^2\ge 0}\)
co jest już jasne.

[Biel124]

Dziękuję za rozwiązanie. Nie umiem Latexa, więc "sprytnie" próbuję go obejść.