Dowody kongruencji

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Biel124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 28 wrz 2017, o 18:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Dowody kongruencji

Post autor: Biel124 »

Wiemy, że na kongruencjach możemy wykonywać różne działania: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, potęgowanie. Ale jak to udowodnić (głównie chodzi o potęgowanie, bo reszta jest raczej oczywista).
Skąd wiemy, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) dzieli \(\displaystyle{ a-b}\) , to \(\displaystyle{ x^{k}}\) dzieli \(\displaystyle{ a^{k}-b^{k}}\) ? Szukałem po internecie, ale jestem kiepski w znajdywaniu rzeczy, więc wolę zapytać.
Ostatnio zmieniony 14 lut 2018, o 11:26 przez Kaf, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Nie zmieniaj treści postów, na które ktoś już odpowiedział.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Dowody kongruencji

Post autor: kerajs »

Sugeruję przetestować tezę dla \(\displaystyle{ a=10 \wedge b=4 \wedge x=3}\) przy różnych wartościach k.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Dowody kongruencji

Post autor: a4karo »

\(\displaystyle{ 2|5-3}\) ale \(\displaystyle{ 8\not| 98}\)
Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Dowody kongruencji

Post autor: Rozbitek »

\(\displaystyle{ x^k}\) - tu jest błąd. Modulo zostaje to samo.
Biel124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 28 wrz 2017, o 18:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Dowody kongruencji

Post autor: Biel124 »

Macie rację. Już poprawiłem.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Dowody kongruencji

Post autor: kerajs »

Nie zmieniaj w ten sposób treści zadania, gdyż wypacza to sensowność udzielonych odpowiedzi odnoszących się do oryginalnej treść.
Wystarczyło umieścić zmodyfikowaną treść zadania w dzisiejszym poscie.

Podzielność wynika z wzorku :
\(\displaystyle{ a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+...+ab^{k-2}+b^{k-1}) \ \ \wedge \ \ k \in \NN \setminus \left\{ 0,1\right\}}\)
ODPOWIEDZ