Rozwiązania równania w liczbach całkowitych

ogioz · Post autor: **ogioz** » 4 lut 2018, o 15:23

Cześć. W jaki sposób znaleźć rozwiązania naturalne takiego równania, a w jaki sposób całkowite?
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = 3}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 4 lut 2018, o 15:30

Naturalne nie istnieją na mocy nierówności między średnią arytmetyczna a geometryczną, całkowite – nie wiem. Można założyć bez straty ogólności, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) są parami względnie pierwsze, ale nie widzę co dalej zrobić.

ogioz · Post autor: **ogioz** » 4 lut 2018, o 15:33

A co jeśli \(\displaystyle{ a=1, b=1, c=1}\)?

Richard del Ferro · Post autor: **Richard del Ferro** » 4 lut 2018, o 15:33

Zauważ, że ze średnich mamy

\(\displaystyle{ \frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \ge \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}} =1}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} +\frac{c}{a}} \ge 3}\)

Sam zbadaj kiedy zachodzi równość między średnimi

Premislav · Post autor: **Premislav** » 4 lut 2018, o 15:34

Chociaż nie do końca, pomyliłem się, jeszcze może być przypadek równości w nierówności między średnimi, \(\displaystyle{ a=b=c\in \NN^+}\), ale to jedyne rozwiązanie w naturalnych. Ciekawe, czy w całkowitych są inne.-- 4 lut 2018, o 15:51 --W całkowitych jeszcze dochodzą przeciwne, natomiast zakładając, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) parami względnie pierwsze i sprowadzając to do
\(\displaystyle{ a^2 c+b^2a+c^2 b=3abc}\), widzimy, że
\(\displaystyle{ b| a^2 c \wedge c|b^2 a\wedge a|c^2 b}\), i z tego już coś można wywnioskować.

Przypomnę zasadnicze twierdzenie arytmetyki (z tym jeszcze trzeba chwilę pokombinować):
jeśli \(\displaystyle{ a,b,c \in \ZZ\setminus\left\{ 0\right\}}\), a ponadto \(\displaystyle{ a|bc}\) oraz \(\displaystyle{ \NWD(a,b)=1}\), to \(\displaystyle{ a|c}\).

Matematyka.pl