cyfra jedności potęgi

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
FikiMiki94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 16 lis 2017, o 17:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 8 razy

cyfra jedności potęgi

Post autor: FikiMiki94 »

Znaleźć cyfrę jednośći liczby \(\displaystyle{ {2^{9}}^{100}}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: cyfra jedności potęgi

Post autor: kerajs »

0statnie cyfry potęgi \(\displaystyle{ 2}\) tworzą ciąg okresowy \(\displaystyle{ 2,4,8,6,2,4,8,6,2,4,8,6,2....}\) wiec ostatnia cyfra będzie zleżała od reszty z dzielenia \(\displaystyle{ 9 ^{?}}\) przez \(\displaystyle{ 4}\), a ta wynosi \(\displaystyle{ 1}\). Szukaną cyfrą jest \(\displaystyle{ 2}\).


inaczej:
\(\displaystyle{ 2^9=512\\
2 ^{9 ^{100} }=\left( \left( \left( \left( 2 ^{9} \right) ^{9} \right) ^{9} \right) ^{...} \right) ^{9}=\left( \left( \left( \left( 51 \cdot 10+2 \right) ^{9} \right) ^{9} \right) ^{...} \right) ^{9}=
\left( \left( \left( \left( 10N_2+51 \cdot 10+2 \right) ^{9} \right) ^{9} \right) ^{...} \right) ^{9}= \\=
\left( \left( \left( \left( 10N_3+51 \cdot 10+2 \right) ^{9} \right) ^{9} \right) ^{...} \right) ^{9}=
10N_{100}+51 \cdot 10+2}\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: cyfra jedności potęgi

Post autor: Janusz Tracz »

Można zauważyć że dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) mamy \(\displaystyle{ 2^{4n+1}\equiv2\bmod10}\) formalnie można to pokazać indukcyjnie ale można też to zauważyć obserwując reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 10}\) kolejnych potęg \(\displaystyle{ 2}\) czyli innymi słowy ostatnią cyfrę potęg \(\displaystyle{ 2}\). Jeśli liczba \(\displaystyle{ 9^{100}}\) jest postaci \(\displaystyle{ 4n+1}\) to będzie można zastosować powyższe twierdzenie. Żeby pokazać że \(\displaystyle{ 9^{100}}\) istotnie jest postaci \(\displaystyle{ 4n+1}\) można sprawdzić czy \(\displaystyle{ 9^{100}\equiv1\bmod4}\) a to jest prawdą ponieważ \(\displaystyle{ 9^{100}=3^{200}=(4-1)^{200}}\) teraz widać ze wzoru

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Dwumian_Newtona
każdy z wyjątkiem ostatniego wyrazu (czyli \(\displaystyle{ 1}\)) dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\) stąd mamy że jest to prawdą. Czyli w szczególności prawdą jest \(\displaystyle{ 2^{9^{100}}\equiv2\bmod10}\). Czyli ostatnią liczbą jest \(\displaystyle{ 2}\).
ODPOWIEDZ