cyfra jedności potęgi
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 16 lis 2017, o 17:33
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 8 razy
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Re: cyfra jedności potęgi
0statnie cyfry potęgi \(\displaystyle{ 2}\) tworzą ciąg okresowy \(\displaystyle{ 2,4,8,6,2,4,8,6,2,4,8,6,2....}\) wiec ostatnia cyfra będzie zleżała od reszty z dzielenia \(\displaystyle{ 9 ^{?}}\) przez \(\displaystyle{ 4}\), a ta wynosi \(\displaystyle{ 1}\). Szukaną cyfrą jest \(\displaystyle{ 2}\).
inaczej:
\(\displaystyle{ 2^9=512\\
2 ^{9 ^{100} }=\left( \left( \left( \left( 2 ^{9} \right) ^{9} \right) ^{9} \right) ^{...} \right) ^{9}=\left( \left( \left( \left( 51 \cdot 10+2 \right) ^{9} \right) ^{9} \right) ^{...} \right) ^{9}=
\left( \left( \left( \left( 10N_2+51 \cdot 10+2 \right) ^{9} \right) ^{9} \right) ^{...} \right) ^{9}= \\=
\left( \left( \left( \left( 10N_3+51 \cdot 10+2 \right) ^{9} \right) ^{9} \right) ^{...} \right) ^{9}=
10N_{100}+51 \cdot 10+2}\)
inaczej:
\(\displaystyle{ 2^9=512\\
2 ^{9 ^{100} }=\left( \left( \left( \left( 2 ^{9} \right) ^{9} \right) ^{9} \right) ^{...} \right) ^{9}=\left( \left( \left( \left( 51 \cdot 10+2 \right) ^{9} \right) ^{9} \right) ^{...} \right) ^{9}=
\left( \left( \left( \left( 10N_2+51 \cdot 10+2 \right) ^{9} \right) ^{9} \right) ^{...} \right) ^{9}= \\=
\left( \left( \left( \left( 10N_3+51 \cdot 10+2 \right) ^{9} \right) ^{9} \right) ^{...} \right) ^{9}=
10N_{100}+51 \cdot 10+2}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: cyfra jedności potęgi
Można zauważyć że dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) mamy \(\displaystyle{ 2^{4n+1}\equiv2\bmod10}\) formalnie można to pokazać indukcyjnie ale można też to zauważyć obserwując reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 10}\) kolejnych potęg \(\displaystyle{ 2}\) czyli innymi słowy ostatnią cyfrę potęg \(\displaystyle{ 2}\). Jeśli liczba \(\displaystyle{ 9^{100}}\) jest postaci \(\displaystyle{ 4n+1}\) to będzie można zastosować powyższe twierdzenie. Żeby pokazać że \(\displaystyle{ 9^{100}}\) istotnie jest postaci \(\displaystyle{ 4n+1}\) można sprawdzić czy \(\displaystyle{ 9^{100}\equiv1\bmod4}\) a to jest prawdą ponieważ \(\displaystyle{ 9^{100}=3^{200}=(4-1)^{200}}\) teraz widać ze wzoru każdy z wyjątkiem ostatniego wyrazu (czyli \(\displaystyle{ 1}\)) dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\) stąd mamy że jest to prawdą. Czyli w szczególności prawdą jest \(\displaystyle{ 2^{9^{100}}\equiv2\bmod10}\). Czyli ostatnią liczbą jest \(\displaystyle{ 2}\).
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Dwumian_Newtona