nie wiem jak to wgl ruszyc prosze o pomoc
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) w oznacza liczby wymierne oraz \(\displaystyle{ {\mathbb{Q}( \sqrt{2}):=\{{a +b \sqrt{2}:a,b \in \mathbb{Q}\} \subset \mathbb{R}}\) Wykazać, że:
a) \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{Q}( \sqrt{2} ) \Rightarrow x+y, x-y,xy \in \mathbb{Q}( \sqrt{2} )}\)
b) Dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Q}( \sqrt{2} )}\) istnieje \(\displaystyle{ y \in \mathbb{Q}( \sqrt{2} )}\) takie, że \(\displaystyle{ xy=1}\) (Czyli odwrotnosc liczby postaci \(\displaystyle{ a+b \sqrt{2}}\) jest tez tej postaci).
udowodnic liczby wymierne
udowodnic liczby wymierne
Aby udowdnić, że \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ x+y, x-y, xy \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\) musisz pokazać, że są one postaci \(\displaystyle{ a+b(\sqrt{2})}\), \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{Q}}\).
Oznaczmy sobie
\(\displaystyle{ x=a+b(\sqrt{2}), y=c+d(\sqrt{2})}\)
wówczas
\(\displaystyle{ x+y=a+c+(b+d)\sqrt{2}}\), ponieważ liczby \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \mathbb{Q} \Rightarrow a+c}\) i \(\displaystyle{ b+d \in \mathbb{Q}}\) czyli \(\displaystyle{ x+y \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\) reszte dowodzisz analogicznie.
A co do drugiego podpunktu to aby znaleźć \(\displaystyle{ y \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\) taki że \(\displaystyle{ xy=1}\) wystarczy pomnożyć \(\displaystyle{ x}\) razy \(\displaystyle{ y}\) oznaczone jak wyżej i przyrównać do \(\displaystyle{ 1}\) potem pozostaje rozwiązać prosty układ równań skąd wychodzi, że \(\displaystyle{ y= \frac{-a}{2b^{2}-a^{2}}+ \frac{b}{2b^{2}-a^{2}}(\sqrt{2})}\) co oczywiście należy do \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\)
Oznaczmy sobie
\(\displaystyle{ x=a+b(\sqrt{2}), y=c+d(\sqrt{2})}\)
wówczas
\(\displaystyle{ x+y=a+c+(b+d)\sqrt{2}}\), ponieważ liczby \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \mathbb{Q} \Rightarrow a+c}\) i \(\displaystyle{ b+d \in \mathbb{Q}}\) czyli \(\displaystyle{ x+y \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\) reszte dowodzisz analogicznie.
A co do drugiego podpunktu to aby znaleźć \(\displaystyle{ y \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\) taki że \(\displaystyle{ xy=1}\) wystarczy pomnożyć \(\displaystyle{ x}\) razy \(\displaystyle{ y}\) oznaczone jak wyżej i przyrównać do \(\displaystyle{ 1}\) potem pozostaje rozwiązać prosty układ równań skąd wychodzi, że \(\displaystyle{ y= \frac{-a}{2b^{2}-a^{2}}+ \frac{b}{2b^{2}-a^{2}}(\sqrt{2})}\) co oczywiście należy do \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\)