Nierówność z użyciem rzędu modulo p.

[MKultra]

Mam obserwacje, że jeżeli \(\displaystyle{ 2^{a-1}-1<p<2 ^{a}-1}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \mathbb{N}}\) to
\(\displaystyle{ O _{p}2>a}\).
Gdzie \(\displaystyle{ O _{p}2}\) to rząd \(\displaystyle{ 2\pmod{p}}\)

Ktoś ma pomysł jak to udowodnić?

[leg14]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ 2^{a} = 1 + k \cdotp}\).
Z założenia \(\displaystyle{ k>1}\) i oczywiście \(\displaystyle{ k}\) musi być nieparzyste, zatem \(\displaystyle{ k>2}\)
Dzielimy obie strony przez 2 i otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 2^{a-1} = 0.5 + \frac{k}{2}p > p}\)
Sprzecznosc

[MKultra]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ 2^{a} = 1 + k \cdotp}\).
Z założenia \(\displaystyle{ k>1}\) i oczywiście \(\displaystyle{ k}\) musi być nieparzyste, zatem \(\displaystyle{ k>2}\)
Dzielimy obie strony przez 2 i otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 2^{a-1} = 0.5 + \frac{k}{2}p > p}\)
Sprzecznosc

Przepraszam, ale co to ma znaczyć? Mógłbyś wyjaśnić jaki to ma związek z tym co napisałem?

[leg14]

Miało być \(\displaystyle{ 2^{a} = 1 + k \cdot p}\).
Rząd \(\displaystyle{ 2 mod p}\) to najmniejsza liczba naturalna \(\displaystyle{ r}\) taka, że \(\displaystyle{ 2^k = 1 mod p}\)
Z założenia \(\displaystyle{ a - 1}\) nie może być rzędem dwójki, bo równanie \(\displaystyle{ 2^{a-1} =1 mod p}\) nie może być spełnione z założenia. Podobnie żadna liczba mniejsza od \(\displaystyle{ a-1}\) tym rzędem być nie może. No to do wykazania tezy pozostaje nam sprawdzenie, czy \(\displaystyle{ a}\) jest rzędem dwójki i to właśnie zrobiłem w moim poście

[MKultra]

Miało być \(\displaystyle{ 2^{a} = 1 + k \cdot p}\).
Rząd \(\displaystyle{ 2 mod p}\) to najmniejsza liczba naturalna \(\displaystyle{ r}\) taka, że \(\displaystyle{ 2^k = 1 mod p}\)
Z założenia \(\displaystyle{ a - 1}\) nie może być rzędem dwójki, bo równanie \(\displaystyle{ 2^{a-1} =1 mod p}\) nie może być spełnione z założenia. Podobnie żadna liczba mniejsza od \(\displaystyle{ a-1}\) tym rzędem być nie może. No to do wykazania tezy pozostaje nam sprawdzenie, czy \(\displaystyle{ a}\) jest rzędem dwójki i to właśnie zrobiłem w moim poście

Tak, ale zakładasz, że \(\displaystyle{ p|2 ^{a}-1}\) (co by było oczywiste rozwiązanie) podczas gdy dane jest dowolne \(\displaystyle{ p}\) pierwsze w tym przedziale.

[leg14]

Po dowodze przez zaprzeczenie! To , że rząd dwójki jest równy \(\displaystyle{ a}\) oznacza, że \(\displaystyle{ p|2^{a} -1}\)!

[MKultra]

Ok. masz racje