Hej, podpowie ktoś jak ugryźć to zadanie?
Wyznacz resztę z dzielenia \(\displaystyle{ 15^{231}}\) przez \(\displaystyle{ 14}\).
Wyznacz reszte z dzielenia
Wyznacz reszte z dzielenia
Ostatnio zmieniony 25 sty 2018, o 21:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
Wyznacz reszte z dzielenia
To trywialne. Reszta wynosi \(\displaystyle{ 1}\), bo \(\displaystyle{ 15\mod 14=1.}\) A kongruencje można potęgować.
Wyznacz reszte z dzielenia
Dziękiszw1710 pisze:To trywialne. Reszta wynosi \(\displaystyle{ 1}\), bo \(\displaystyle{ 15\mod 14=1.}\) A kongruencje można potęgować.
Proszę jeszcze o sprawdzenie, korzystam z twierdzenia Eulera.
\(\displaystyle{ 18^{2815}}\) przez \(\displaystyle{ 14}\)
\(\displaystyle{ NWD(18,14)=1 \Rightarrow 18^{\varphi(14)} = 1\pmod{14} \Rightarrow 18^{6} = 1 \pmod{14} \Rightarrow (18^{6})^{469} \cdot 18 = 18 \pmod{14} = 4\pmod{14}}\)
Jest ok ?
Ostatnio zmieniony 25 sty 2018, o 21:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Wyznacz reszte z dzielenia
Przecież \(\displaystyle{ \NWD(14,18)=2}\)
Tak nie da rady, zastanowiłbym się nad modulo \(\displaystyle{ 7}\). Już \(\displaystyle{ \NWD(18,7)=1}\), więc z tw. Eulera masz \(\displaystyle{ 18^{6}\equiv 1\pmod{7}}\) (właściwie to MTF w tym wypadku wystarcza).
Mamy \(\displaystyle{ 2815=2814+1\equiv 1\pmod{6}}\) i
\(\displaystyle{ 18^{2814}\equiv 1\pmod{7}\\18^{2815}\equiv 18\pmod{7}}\)
czyli \(\displaystyle{ 18^{2815}\equiv 18\pmod{7}\equiv 4\pmod{7}}\).
Ponadto jest to liczba parzysta, zatem musi być postaci \(\displaystyle{ 14k+4}\), tj. odpowiedź:
\(\displaystyle{ 18^{2815}\equiv 4\pmod{14}}\).
Ale u Ciebie wyszło poprawnie tylko przez przypadek.
Tak nie da rady, zastanowiłbym się nad modulo \(\displaystyle{ 7}\). Już \(\displaystyle{ \NWD(18,7)=1}\), więc z tw. Eulera masz \(\displaystyle{ 18^{6}\equiv 1\pmod{7}}\) (właściwie to MTF w tym wypadku wystarcza).
Mamy \(\displaystyle{ 2815=2814+1\equiv 1\pmod{6}}\) i
\(\displaystyle{ 18^{2814}\equiv 1\pmod{7}\\18^{2815}\equiv 18\pmod{7}}\)
czyli \(\displaystyle{ 18^{2815}\equiv 18\pmod{7}\equiv 4\pmod{7}}\).
Ponadto jest to liczba parzysta, zatem musi być postaci \(\displaystyle{ 14k+4}\), tj. odpowiedź:
\(\displaystyle{ 18^{2815}\equiv 4\pmod{14}}\).
Ale u Ciebie wyszło poprawnie tylko przez przypadek.
Wyznacz reszte z dzielenia
Dzięki! chyba bardzo chciałam zeby NWD wyszło 1Premislav pisze:Przecież \(\displaystyle{ \NWD(14,18)=2}\)
Tak nie da rady, zastanowiłbym się nad modulo \(\displaystyle{ 7}\). Już \(\displaystyle{ \NWD(18,7)=1}\), więc z tw. Eulera masz \(\displaystyle{ 18^{6}\equiv 1\pmod{7}}\) (właściwie to MTF w tym wypadku wystarcza).
Mamy \(\displaystyle{ 2815=2814+1\equiv 1\pmod{6}}\) i
\(\displaystyle{ 18^{2814}\equiv 1\pmod{7}\\18^{2815}\equiv 18\pmod{7}}\)
czyli \(\displaystyle{ 18^{2815}\equiv 18\pmod{7}\equiv 4\pmod{7}}\).
Ponadto jest to liczba parzysta, zatem musi być postaci \(\displaystyle{ 14k+4}\), tj. odpowiedź:
\(\displaystyle{ 18^{2815}\equiv 4\pmod{14}}\).
Ale u Ciebie wyszło poprawnie tylko przez przypadek.