Nierówność indukcyjnie

[bartekPL]

Witam.
Mam przygotować się z indukcji i nie potrafię poradzić sobie z tymi oto trzema nierównościami:

1.
\(\displaystyle{ \forall n\in N \ \sum_{k=1}^{n} \left( 3k-2\right) ^{2} \ > 3\left( n+1\right) \left( n-1\right) ^{2}}\)

2.
\(\displaystyle{ \forall n\in N,n \ge 2 \ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} } \ > \ 2\left( \sqrt{n+1} -1 \right)}\)

3.
\(\displaystyle{ \forall n\in N \ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} } \ \le 2 \sqrt{n} -1}\)

Z bazą problemów nie mam.
W kroku indukcji w pierwszym przykładzie dochodzę do czegoś takiego (po rozłożeniu prawej części):
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}] \left( 3k-2\right) ^{2} + \left( 3n+1\right) - 3\left( n^{3}-n^{2}-n+1 \right) -3\left( 3n^{2}+n-1\right)}\)
Gdzie pierwszy i trzeci składnik z założenia jest >0 ale co z resztą?
Dokładnie do tego typu problemu dochodzę w przypadku drugiej i trzeciej nierówności.

Z góry dziękuję za pomoc.

[kerajs]

Rozkładałbym stronę lewą. Np:
1.
\(\displaystyle{ \forall n\in N \ \sum_{k=1}^{n} \left( 3k-2\right) ^{2} \ > 3\left( n+1\right) \left( n-1\right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \left( 3k-2\right) ^{2} \ > 3\left( n+1\right) \left( n\right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ L=\sum_{k=1}^{n+1} \left( 3k-2\right) ^{2}=\left( \sum_{k=1}^{n} \left( 3k-2\right) ^{2}\right) +(3(n+1)-2)^2>\\>3(n+1)(n-1)^2+(3n+1)^2=3n^3-3n^2-3n+3+9n^2+6n+1=\\=3n^3+6n^2+3n+4>3n^3+6n^2=3(n+2)n^2=P}\)

[Premislav]

Co do zadania drugiego i trzeciego:
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ 2\left( \sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right) =\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} < \frac{1}{\sqrt{k}}< \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2\left( \sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,3\ldots}\)
Zadanie 2.
Zatem (piszę tylko krok indukcyjny) jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ n\in\NN^+}\) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} } \ > \ 2\left( \sqrt{n+1} -1 \right)}\), to
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{ \sqrt{k} }>2\left( \sqrt{n+1} -1 \right)+2\left( \sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right) =2\left( \sqrt{n+2}-1\right)}\).
Zadanie 3.
(też tylko krok indukcyjny)
Jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ n\in\NN^+, \ n\ge 2}\) jest
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} } \ \le 2 \sqrt{n} -1}\), to
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{ \sqrt{k} } \ \le 2 \sqrt{n} -1\le 2\sqrt{n}-1+2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=2\sqrt{n+1}-1}\)

[kerajs]

Inaczej:
2.
\(\displaystyle{ L=\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{ \sqrt{k} }>2\left( \sqrt{n+1} -1 \right)+ \frac{1}{ \sqrt{n+1} }=2\left( \sqrt{n+1} + \frac{1}{2\sqrt{n+1} } \right) -2=\\=2 \sqrt{(\sqrt{n+1} + \frac{1}{2\sqrt{n+1}} )^2} -2=2 \sqrt{n+1+1+ \frac{1}{4(n+1)} }-2>\\> 2 \sqrt{n+1+1 }-2=P}\).

3.
Podobnie jak 2.

[bartekPL]

Dzięki panowie, wszystko zrozumiałe i ogarnięte.

[Premislav]

Tylko coś mi się tu źle napisało, jeśli chodzi o zadanie 3.

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{ \sqrt{k} } \ {\red \le 2 \sqrt{n} -1}\le 2\sqrt{n}-1+2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=2\sqrt{n+1}-1}\)
tego, co zaznaczyłem na czerwono, nie powinno tu być, przepraszam. Chyba skopiowałem z poprzedniej linijki kawałek za dużo. Chodziło o to, że jeśli
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} } \ \le 2 \sqrt{n} -1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n}\), to możemy napisać
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{ \sqrt{k} }=\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} }}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{k}}< \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2\left( \sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)}\) dla każdego \(\displaystyle{ k}\), w szczególności dla \(\displaystyle{ k=n+1}\)
oraz z zał. indukcyjnego \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} } \ \le 2 \sqrt{n} -1}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n+1}}+\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} }\le 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})+2\sqrt{n}-1=2\sqrt{n+1}-1}\).