Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\) istnieje liczba \(\displaystyle{ n}\) taka, że \(\displaystyle{ S(n)= S(mn)}\) przy czym żadna z cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\) nie jest zerem, zaś \(\displaystyle{ S(k)}\) jest sumą cyfr liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\).
Czy takich liczb \(\displaystyle{ n}\) jest nieskończona ilość ?
Suma cyfr iloczynu
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Suma cyfr iloczynu
Oczywiście, że istnieje takie.: \(\displaystyle{ n}\) , a mianowicie:
dla:
\(\displaystyle{ m=\overbrace{a_{s}a_{s-1}...a_{0}}^{s}}\)
gdzie.: \(\displaystyle{ a_{i}}\) - to cyfry
\(\displaystyle{ n=\overbrace{99...9}^{s}}\)
mamy udowodnić, że:
\(\displaystyle{ S(x)=S(\overbrace{99...9}^{s}m)=9s}\)
Poprzekształcajmy troszkę:
\(\displaystyle{ x=(10^s-1)(a_{s-1}10^{s-1}+...+a_{1}10+a_{0})=(a_{s-1}10^{2s-1}+a_{s-2}10^{2s-2}+...+a_{1}10^{s+1}+a_{0}10^{s})-(a_{s-1}10^{s-1}+...+a_{0})=}\)
\(\displaystyle{ \left[ a_{s-1}10^{2s-1}+a_{s-2}10^{2s-2}+...+a_{1}10^{s+1}+(a_{0}-1)10^{s}\right] +10^s-(a_{s-1}10^{s-1}+...+a_{0})=}\)
\(\displaystyle{ \left[ a_{s-1}10^{2s-1}+a_{s-2}10^{2s-2}+...+a_{1}10^{s+1}+(a_{0}-1)10^{s}\right]+(9 \cdot 10^{s-1}+9 \cdot 10^{s-2}+...+9 \cdot 10+10)-(a_{s-1}10^{s-1}+...+a_{0})=}\)
\(\displaystyle{ a_{s-1}10^{2s-1}+...+a_{1}10^{s+1}+(a_{0}-1)10^s+(9-a_{s-1})10^{s-1}+(9-a_{s-2})10^{s-2}+...+(9-a_{1})10+10-a_{0}}\)
teraz widać, że kolejne cyfry liczby.: \(\displaystyle{ x}\) to:
\(\displaystyle{ a_{s-1},a_{s-2},...a_{1},(a_{0}-1),(9-a_{s-1})(9-a_{s-2}),...,(9-a_{1})(10-a_{0})}\)
co sumuje się do:
\(\displaystyle{ 9s}\)
dla:
\(\displaystyle{ m=\overbrace{a_{s}a_{s-1}...a_{0}}^{s}}\)
gdzie.: \(\displaystyle{ a_{i}}\) - to cyfry
\(\displaystyle{ n=\overbrace{99...9}^{s}}\)
mamy udowodnić, że:
\(\displaystyle{ S(x)=S(\overbrace{99...9}^{s}m)=9s}\)
Poprzekształcajmy troszkę:
\(\displaystyle{ x=(10^s-1)(a_{s-1}10^{s-1}+...+a_{1}10+a_{0})=(a_{s-1}10^{2s-1}+a_{s-2}10^{2s-2}+...+a_{1}10^{s+1}+a_{0}10^{s})-(a_{s-1}10^{s-1}+...+a_{0})=}\)
\(\displaystyle{ \left[ a_{s-1}10^{2s-1}+a_{s-2}10^{2s-2}+...+a_{1}10^{s+1}+(a_{0}-1)10^{s}\right] +10^s-(a_{s-1}10^{s-1}+...+a_{0})=}\)
\(\displaystyle{ \left[ a_{s-1}10^{2s-1}+a_{s-2}10^{2s-2}+...+a_{1}10^{s+1}+(a_{0}-1)10^{s}\right]+(9 \cdot 10^{s-1}+9 \cdot 10^{s-2}+...+9 \cdot 10+10)-(a_{s-1}10^{s-1}+...+a_{0})=}\)
\(\displaystyle{ a_{s-1}10^{2s-1}+...+a_{1}10^{s+1}+(a_{0}-1)10^s+(9-a_{s-1})10^{s-1}+(9-a_{s-2})10^{s-2}+...+(9-a_{1})10+10-a_{0}}\)
teraz widać, że kolejne cyfry liczby.: \(\displaystyle{ x}\) to:
\(\displaystyle{ a_{s-1},a_{s-2},...a_{1},(a_{0}-1),(9-a_{s-1})(9-a_{s-2}),...,(9-a_{1})(10-a_{0})}\)
co sumuje się do:
\(\displaystyle{ 9s}\)