liczba algebraiczna
liczba algebraiczna
Jak pokazać że \(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt[3]{2}}\) jest liczba algebraiczna?
Ostatnio zmieniony 13 sty 2018, o 21:04 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Richard del Ferro
- Użytkownik
- Posty: 190
- Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: liczba algebraiczna
Liczba algebraiczna jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach wymiernych.
Zatem ułóżmy takie równanie:
\(\displaystyle{ x=\sqrt2+\sqrt[3]{2}}\)
\(\displaystyle{ x-\sqrt2=\sqrt[3]{2}}\)
\(\displaystyle{ (x-\sqrt2)^3=2}\)
\(\displaystyle{ x^3 - 3 \sqrt2 x^2 + 6 x - 2 \sqrt2=2}\)
\(\displaystyle{ x^3-6x-2=3\sqrt2x^2+2\sqrt2}\)
\(\displaystyle{ x^3-6x-2=\sqrt2(3x^2+2)}\)
\(\displaystyle{ x^6 - 12 x^4 - 4 x^3 + 36 x^2 + 24 x + 4=18 x^4 + 24 x^2 + 8}\)
\(\displaystyle{ W(x)=x^6 - 30 x^4 - 4 x^3 + 12 x^2 + 24 x - 4}\)
Proszę bardzo.
Zatem ułóżmy takie równanie:
\(\displaystyle{ x=\sqrt2+\sqrt[3]{2}}\)
\(\displaystyle{ x-\sqrt2=\sqrt[3]{2}}\)
\(\displaystyle{ (x-\sqrt2)^3=2}\)
\(\displaystyle{ x^3 - 3 \sqrt2 x^2 + 6 x - 2 \sqrt2=2}\)
\(\displaystyle{ x^3-6x-2=3\sqrt2x^2+2\sqrt2}\)
\(\displaystyle{ x^3-6x-2=\sqrt2(3x^2+2)}\)
\(\displaystyle{ x^6 - 12 x^4 - 4 x^3 + 36 x^2 + 24 x + 4=18 x^4 + 24 x^2 + 8}\)
\(\displaystyle{ W(x)=x^6 - 30 x^4 - 4 x^3 + 12 x^2 + 24 x - 4}\)
Proszę bardzo.
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Re: liczba algebraiczna
Richard del Ferro, proszę Cię daj mi w spokoju decydować o tym, jak odpowiadam na posty. Poli33, skoro wspaniały Richard już Ci pokazał prymitywne rozwiązanie, proponuję dla Ciebie dodatkowe ćwiczenie:
Pokaż, że suma dowolnych dwóch liczb algebraicznych jest algebraiczna.
Pokaż, że suma dowolnych dwóch liczb algebraicznych jest algebraiczna.
- Richard del Ferro
- Użytkownik
- Posty: 190
- Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: liczba algebraiczna
Skąd ta agresja? Nawet się do ciebie nie zwróciłem. Odpowiedziałem autorowi posta, bo może nie miał rozszerzenia ciał?
Swoją drogą możesz rozwiązać to zadanie. Ciekawie brzmi.
Swoją drogą możesz rozwiązać to zadanie. Ciekawie brzmi.
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Re: liczba algebraiczna
Bez przesady.Skąd ta agresja
No to dałem jej wskazówkę na wypadek, gdyby nie miała. Wybacz, ale Twoje dopisywanie postów (bo to drugi raz) wygląda jakbyś sobie jak najszybciej nabijał posty. Co Twoja odpowiedź da Poli? Daj jej szansę popracować nad zadaniem.Nawet się do ciebie nie zwróciłem. Odpowiedziałem autorowi posta. bo może nie miał rozszerzenia ciał?
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: liczba algebraiczna
W ogóle paskudnie wygląda, kiedy ktoś daje wskazówkę, a ktoś następny pisze gotowca. Wygląda na to, że uważa autor posta za idiotę, który nie umie skorzystać ze wskazówki.
- Richard del Ferro
- Użytkownik
- Posty: 190
- Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: liczba algebraiczna
W trakcie mojego pisania posta dodałeś swój. Co tu jakaś kolejka obowiązuje? Jak będzie chciał to sobie sprawdzi. A to za kogo uważam poprzednika to moja prywatna sprawa.
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Re: liczba algebraiczna
Wiadomo, że mało kto oparłby się pokusie przeczytania gotowca.Jak będzie chciał to sobie sprawdzi
Byle nie za komucha.A to za kogo uważam poprzednika to moja prywatna sprawa.
Żeby mnie nie zamknęli za offtop:
Poli, jeśli miałaś ciała (a podejrzewam, że tak - mam nosa do tych spraw). Zauważ , że algebraiczność \(\displaystyle{ \alpha}\) jest równoważna temu, że \(\displaystyle{ \QQ \hookrightarrow \QQ(\alpha)}\) jest skończone. Teraz jeśli \(\displaystyle{ \beta}\) jest drugim algebraicznym elementem, to również rozszerzenie \(\displaystyle{ \QQ(\alpha) \hookrightarrow \QQ(\alpha,\beta)}\) jest skończone. Co teraz można powiedzieć o rozszerzeniu \(\displaystyle{ \QQ \hookrightarrow \QQ(\alpha+\beta)}\) ?
Ostatnio zmieniony 13 sty 2018, o 21:37 przez leg14, łącznie zmieniany 3 razy.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: liczba algebraiczna
Ja na przykład uważam wszystkich ludzi oprócz mnie samego za idiotów.
Rozwiązanie „nieprymitywne" (rzeczywiście w moim odczuciu nazwanie czyjegoś rozwiązania prymitywnym to przejaw może nie agresji, ale z pewnością braku taktu):
najpierw prościutki lemat – liczby algebraiczne tworzą ciało. Jak widać, dowód lematu jest tak prosty, że można by go zostawić jako łatwe ćwiczenie dla czytelnika.
Teraz skonstatujmy, że zarówno \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), jako pierwiastek \(\displaystyle{ P(x)=x^2-2}\), jak i \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\), jako pierwiastek \(\displaystyle{ Q(x)=x^3-2}\) są liczbami algebraicznymi, stąd i z lematu także \(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt[3]{2}}\) jest liczbą algebraiczną, c.n.d.
PS Slow market!
Rozwiązanie „nieprymitywne" (rzeczywiście w moim odczuciu nazwanie czyjegoś rozwiązania prymitywnym to przejaw może nie agresji, ale z pewnością braku taktu):
najpierw prościutki lemat – liczby algebraiczne tworzą ciało. Jak widać, dowód lematu jest tak prosty, że można by go zostawić jako łatwe ćwiczenie dla czytelnika.
Teraz skonstatujmy, że zarówno \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), jako pierwiastek \(\displaystyle{ P(x)=x^2-2}\), jak i \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\), jako pierwiastek \(\displaystyle{ Q(x)=x^3-2}\) są liczbami algebraicznymi, stąd i z lematu także \(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt[3]{2}}\) jest liczbą algebraiczną, c.n.d.
PS Slow market!
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: liczba algebraiczna
Posty niezwiązane z tematem będą usuwane.
O gotowcach można porozmawiać np. tutaj: 160791.htm .
JK
O gotowcach można porozmawiać np. tutaj: 160791.htm .
JK