Czy układ równań ma rozwiązanie

[jasio1909]

Hejka, ostatnio robiłem zadanko i siedziałem nad nim dosyć długo i nie wiem za bardzo jak je ruszyć:
Dane jest \(\displaystyle{ x,y,a,b,c}\) naturalne.
Czy dany układ równań ma rozwiązania:

\(\displaystyle{ x>y>1}\)

\(\displaystyle{ x+y=a^2 \\
x+1=b^2 \\
y+1=c^2}\)

Przepraszam za brak LaTeXa, pisane z komórki.

Słowem „Hejka” nie wypada witać się z użytkownikami poważnego forum Matematyka.pl.

[bakala12]

Podstawiając drugie i trzecie do pierwszego dostajemy:
\(\displaystyle{ b^{2}+c^{2}-2 = a^{2}}\)

Łatwo zauważamy, że rozwiązaniem jest na przykład trójka:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=4 \\ b=3 \\ c=3 \end{cases}}\)

[Belf]

Podstawiając drugie i trzecie do pierwszego dostajemy:
\(\displaystyle{ b^{2}+c^{2}-2 = a^{2}}\)

Łatwo zauważamy, że rozwiązaniem jest na przykład trójka:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=4 \\ b=3 \\ c=3 \end{cases}}\)

Nie ma tego w treści zadania, ale przypuszczam,że :\(\displaystyle{ a,b,c}\) , to trzy różne liczby naturalne.

[jasio1909]

Tak, tak miało być, założenia już edytowane

[Richard del Ferro]

\(\displaystyle{ x+y=a^2 \\ x+1=b^2 \\ y+1=c^2}\)

\(\displaystyle{ x+1=b^2}\)

Reszta z dzielenia kwadratu liczby naturalnej przez \(\displaystyle{ 4}\) wynosi \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\)
więc, stąd
\(\displaystyle{ x=4k}\) lub \(\displaystyle{ x=4k+3}\)

To samo zachodzia dla \(\displaystyle{ y}\)
\(\displaystyle{ y=4j}\) lub \(\displaystyle{ y=4j+3}\)

W pierwszej linijce mamy \(\displaystyle{ x+y}\) i po prawej kwadrat
Zauważmy, że żeby reszty sie zgadzały musimy obrać jedyne przypadek
\(\displaystyle{ x=4k}\) oraz \(\displaystyle{ y=4j}\)

Bo jak weźmiemy inne to zobacz np
\(\displaystyle{ x=4k}\) i \(\displaystyle{ y=4j+3}\)

\(\displaystyle{ x+y=4(k+j)+3}\)

albo chociażby
\(\displaystyle{ x=4k+3}\) i \(\displaystyle{ y=4j+3}\)

stąd
\(\displaystyle{ x+y=4(k+j+1)+2}\)

Banalny wniosek od razu widać, że \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) są liczbami podzielnymi przez \(\displaystyle{ 4}\) czyli jak już wyżej wspomniałem
\(\displaystyle{ x=4k}\) oraz \(\displaystyle{ y=4j}\)

Dalej

\(\displaystyle{ x=b^2-1}\)

\(\displaystyle{ y=c^2-1}\)

\(\displaystyle{ x=(b-1)(b+1)}\)

\(\displaystyle{ y=(c-1)(c+1)}\)

\(\displaystyle{ 4k=(b-1)(b+1)}\)

\(\displaystyle{ 4j=(c-1)(c+1)}\)

Lewa strona jest parzysta, więc zarówno \(\displaystyle{ b}\) jak \(\displaystyle{ c}\) MUSZĄ być nieparzyste.

Teraz wstawiając do pierwszego mamy

\(\displaystyle{ b^2+c^2=a^2+2}\)

więc \(\displaystyle{ a}\) na pewno parzyste \(\displaystyle{ a=2t}\)

stąd
\(\displaystyle{ (4k+1)^2+(4j+1)^2=4t^2+2}\)

\(\displaystyle{ 4k^2+4k+1+4j^2+4j+1=4t^2+2}\)

\(\displaystyle{ 4k^2+4k+4j^2+4j=4t^2}\)

\(\displaystyle{ k^2+k+j^2+j=t^2}\)

\(\displaystyle{ k(k+1)+j(j+1)=t^2}\)

musze teraz wyjsc ale pomysl po lewej mamy sume dwoch iloczynow dwoch kolejnych liczb naturalnych a po prawej kwadrat liczby naturalnej

[Belf]

A konkretny przykład ?

[bakala12]

Dobra, jeśli są różne to rozwiązaniem mojego równania będzie też na przykład trójka:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 12 \\ b=11 \\ c=5 \end{cases}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ x=120}\) \(\displaystyle{ y=20}\).
Ogólnie to równanie (\(\displaystyle{ b^2+c^2-2=a^2}\)) ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych, więc nie mam pojęcia do czego dąży Richard del Ferro