Niepodzielność różnicy
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11266
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3143 razy
- Pomógł: 747 razy
Niepodzielność różnicy
Udowodnić, że dla dowolnej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ q}\) taka, że \(\displaystyle{ n^p - p}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ q}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\)
Ukryta treść:
- Richard del Ferro
- Użytkownik
- Posty: 190
- Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 16 razy
Niepodzielność różnicy
Mamy
\(\displaystyle{ n ^{p} - p}\)
oraz
\(\displaystyle{ q}\)
Gdzie \(\displaystyle{ p,q}\) należą do do zbioru liczb pierwszych.
Zauważmy, że
Reszta z dzielenia
\(\displaystyle{ n^{p} -p}\)
Jest równa reszcie z dzielenia
\(\displaystyle{ n^{p}}\)
przez \(\displaystyle{ p}\)
A stąd już widać z MTF
\(\displaystyle{ n^{p}=n}\) mod \(\displaystyle{ p}\)
no więc ostatecznie
\(\displaystyle{ n^{p}-p=n}\) mod \(\displaystyle{ p}\)
Wiec reszta dzielenia naszej liczby przez \(\displaystyle{ p}\) to \(\displaystyle{ n}\)
Przykład?
\(\displaystyle{ 3^{7} - 7 = 2180}\)
\(\displaystyle{ 2180=2177+3=311 \cdot 7+3}\)
Mamy więc,
\(\displaystyle{ n^{p}-p=p \cdot k + n}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego.
Chcemy, aby \(\displaystyle{ q}\) nie dzieliło \(\displaystyle{ p \cdot k + n}\)
Reszty jeszcze nie wymyśliłem
ps :
zakładam, że \(\displaystyle{ p \neq q}\) w koncu to dwie różne literki, co za tym idzie są względnie pierwsze
\(\displaystyle{ n ^{p} - p}\)
oraz
\(\displaystyle{ q}\)
Gdzie \(\displaystyle{ p,q}\) należą do do zbioru liczb pierwszych.
Zauważmy, że
Reszta z dzielenia
\(\displaystyle{ n^{p} -p}\)
Jest równa reszcie z dzielenia
\(\displaystyle{ n^{p}}\)
przez \(\displaystyle{ p}\)
A stąd już widać z MTF
\(\displaystyle{ n^{p}=n}\) mod \(\displaystyle{ p}\)
no więc ostatecznie
\(\displaystyle{ n^{p}-p=n}\) mod \(\displaystyle{ p}\)
Wiec reszta dzielenia naszej liczby przez \(\displaystyle{ p}\) to \(\displaystyle{ n}\)
Przykład?
\(\displaystyle{ 3^{7} - 7 = 2180}\)
\(\displaystyle{ 2180=2177+3=311 \cdot 7+3}\)
Mamy więc,
\(\displaystyle{ n^{p}-p=p \cdot k + n}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego.
Chcemy, aby \(\displaystyle{ q}\) nie dzieliło \(\displaystyle{ p \cdot k + n}\)
Reszty jeszcze nie wymyśliłem
ps :
zakładam, że \(\displaystyle{ p \neq q}\) w koncu to dwie różne literki, co za tym idzie są względnie pierwsze
Ostatnio zmieniony 5 sty 2018, o 22:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: Niepodzielność różnicy
Oczywiście:
\(\displaystyle{ p}\) nie dzieli \(\displaystyle{ n^p-p}\) - a kto powiedział, że muszą być różne, a nawet można poszukać masę innych \(\displaystyle{ q}\) co tego nie dzielą zadanie głupie...
\(\displaystyle{ p}\) nie dzieli \(\displaystyle{ n^p-p}\) - a kto powiedział, że muszą być różne, a nawet można poszukać masę innych \(\displaystyle{ q}\) co tego nie dzielą zadanie głupie...
-
- Użytkownik
- Posty: 71
- Rejestracja: 2 sty 2018, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 11 razy
Re: Niepodzielność różnicy
Co myślicie o tym:
Niech \(\displaystyle{ \frac{n^p - p}{q} = n}\)
\(\displaystyle{ n^p - p = nq}\)
\(\displaystyle{ n^{p-1} - \frac{p}{n} = q}\)
skoro \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ n^{p-1}}\) jest liczbą naturalną, a \(\displaystyle{ \frac{p}{n}}\) nie jest liczbą naturalną (dla \(\displaystyle{ n \neq 1}\) i \(\displaystyle{ n \neq p}\)) zatem ich różnica nie jest naturalna, a więc \(\displaystyle{ q}\) nie jest liczbą pierwszą.
Sprawdźmy jeszcze dla \(\displaystyle{ n = 1}\) - wtedy \(\displaystyle{ q < 1}\), nie jest liczbą pierwszą. Gdy \(\displaystyle{ n = p}\)
\(\displaystyle{ q = p^{p-1} - 1}\)
\(\displaystyle{ 1 = \frac{p^{p-1}}{q} - \frac{1}{q}}\)
Sprzeczność.
Niech \(\displaystyle{ \frac{n^p - p}{q} = n}\)
\(\displaystyle{ n^p - p = nq}\)
\(\displaystyle{ n^{p-1} - \frac{p}{n} = q}\)
skoro \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ n^{p-1}}\) jest liczbą naturalną, a \(\displaystyle{ \frac{p}{n}}\) nie jest liczbą naturalną (dla \(\displaystyle{ n \neq 1}\) i \(\displaystyle{ n \neq p}\)) zatem ich różnica nie jest naturalna, a więc \(\displaystyle{ q}\) nie jest liczbą pierwszą.
Sprawdźmy jeszcze dla \(\displaystyle{ n = 1}\) - wtedy \(\displaystyle{ q < 1}\), nie jest liczbą pierwszą. Gdy \(\displaystyle{ n = p}\)
\(\displaystyle{ q = p^{p-1} - 1}\)
\(\displaystyle{ 1 = \frac{p^{p-1}}{q} - \frac{1}{q}}\)
Sprzeczność.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Niepodzielność różnicy
Pokazałeś, że \(\displaystyle{ n^p-p = nq}\) nie może zachodzić, ale może zachodzi \(\displaystyle{ n^p-p = (n+1)q}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 71
- Rejestracja: 2 sty 2018, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 11 razy
Re: Niepodzielność różnicy
PoweredDragon, Słuszna uwaga!
ale uzasadnienie jest analogiczne i na mocy indukcji matematycznej wszystko jest spoko.
ale uzasadnienie jest analogiczne i na mocy indukcji matematycznej wszystko jest spoko.
- Richard del Ferro
- Użytkownik
- Posty: 190
- Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Niepodzielność różnicy
Panie Arkadiuszu co innego udowodnić, że sie nie dzieli a co innego wyznaczyć dokładną resztę z takiego dzielenia .
Damian Tancerz nie wiem skąd to wziąłeś, ponieważ ja dzieliłem przez \(\displaystyle{ p}\) a nie przez \(\displaystyle{ q}\).
Poza tym polecam rozważyć to zadanie najpierw zrozumieć o co chodzi.
Jeżeli wychodzi wam takie coś to juz coś nie gra, bo trzeba dowiesc, ze zawsze istnieje co najmniej jedna taka liczba PIERWSZA, czyli np. liczby \(\displaystyle{ 3,5,7}\) są mniejsze od \(\displaystyle{ n^{p}-p}\) ale tylko liczba \(\displaystyle{ 5}\) nie podzieli bez reszty.
Dodatkowo kto w ogole powiedzial, gdy\(\displaystyle{ p=n}\) to ta różnica jest naturalna.
Damian Tancerz nie wiem skąd to wziąłeś, ponieważ ja dzieliłem przez \(\displaystyle{ p}\) a nie przez \(\displaystyle{ q}\).
Poza tym polecam rozważyć to zadanie najpierw zrozumieć o co chodzi.
Jeżeli wychodzi wam takie coś to juz coś nie gra, bo trzeba dowiesc, ze zawsze istnieje co najmniej jedna taka liczba PIERWSZA, czyli np. liczby \(\displaystyle{ 3,5,7}\) są mniejsze od \(\displaystyle{ n^{p}-p}\) ale tylko liczba \(\displaystyle{ 5}\) nie podzieli bez reszty.
Dodatkowo kto w ogole powiedzial, gdy\(\displaystyle{ p=n}\) to ta różnica jest naturalna.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Niepodzielność różnicy
1. DamianTancerz próbował uzasadnić, że \(\displaystyle{ n^{p} - p \neq nq}\) (czyli wykazał twoją tezę dla jednej z nieskończoności liczb)Richard del Ferro pisze:...
2. Rozważył przypadek \(\displaystyle{ p=n}\) osobno. Faktycznie zrobił to jednak źle (nie wykazał sprzeczności, tylko stwierdził, że występuje)
Mamy pokazać, że
\(\displaystyle{ \forall_{n \in \mathbb N} \forall_{p \in \mathbb P} \exists_{q \in \mathbb P} q \nmid n^p-p}\)
Mam takie pytanko do bardziej ogarniających. Mamy prawo wzajemności reszt rzędów \(\displaystyle{ 2, 3, 4}\), mamy analogiczne prawa dla wyższych rzędów?