Rozwiązanie inne od firmówki - poprawne?

[PokEmil]

Chciałbym, aby ktoś, kto ma czas mógł sprawdzić, czy moje rozwiązanie inne od tzw. "firmówki" jest poprawne lub, czy znajdują się w nim jakieś luki. Będę bardzo wdzięczny!
Zadanie:
"4. Czy istnieje taka dodatnia liczba całkowita \(\displaystyle{ n}\), dla której liczbę \(\displaystyle{ 2^n}\) można przedstawić w postaci sumy co najmniej dwóch kolejnych dodatnich liczb całkowitych? Odpowiedź uzasadnij." OMG III, zawody II stopnia
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{x}=2^{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{1} + (a_{1}+1) + (a_{1}+2) +...+(a_{1}+x-1)=xa_{1} \cdot (1+2+3+...+(x-1))=xa_{1} \cdot \frac{(x-1)x}{2}=x(a_{1}+ \frac{x-1}{2})=2^{n}}\).
Zastanówmy się teraz nad tym:
\(\displaystyle{ x(a_{1}+ \frac{x-1}{2})=2^{n}}\)
Jako, że \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ n}\) są naturalne, to można wyróżnić trzy przypadki:
(1) Obie liczby \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ a_{1}+ \frac{x-1}{2}}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\) i niepodzielne przez żadną inną liczbę różną od \(\displaystyle{ 1}\). Zauważmy, że gdy \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste, to liczba \(\displaystyle{ \frac{x-1}{2} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}}\) jest niecałkowita, a także \(\displaystyle{ a_{1}+ \frac{x-1}{2}}\)nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\), więc zachodzi sprzeczność.
(2) \(\displaystyle{ x=2^{n}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{1}+ \frac{x-1}{2}=1}\), jednak \(\displaystyle{ a_{1}+ \frac{x-1}{2}}\) nie jest całkowita, więc zachodzi sprzeczność.
(3) \(\displaystyle{ x=1}\) oraz \(\displaystyle{ a_{1}+ \frac{x-1}{2}=2^{n}}\), jednak z założeń podanych w zadaniu wynika, że \(\displaystyle{ x>1}\), więc zachodzi sprzeczność.

Z wszystkich trzech przypadków otrzymaliśmy sprzeczność, zatem nie istnieje taka dodatnia liczba całkowita \(\displaystyle{ n}\), dla której liczbę \(\displaystyle{ 2^n}\) można przedstawić w postaci sumy co najmniej dwóch kolejnych dodatnich liczb całkowitych.

Bardzo dziękuję za odpowiedź!

[a4karo]

A czemu zakładasz, że \(\displaystyle{ a_1+\frac{x-1}{2}}\) ma być całkowite?

[PokEmil]

To jeszcze czwarty przypadek:
\(\displaystyle{ x=2^{n+1}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{1} + \frac{x-1}{2} = \frac{1}{2}}\), ale \(\displaystyle{ x \ge1}\), więc \(\displaystyle{ \frac{1}{2}=a_{1} + \frac{x-1}{2} \ge a_{1}}\), więc \(\displaystyle{ a_{1}=0}\), co także jest sprzeczne z założeniami zadania.

Tak?

[a4karo]

A czemu nie może być \(\displaystyle{ x=2^k}\) i \(\displaystyle{ \frac{2a_1+x-1}{2}=2^{n-k}}\)

[Premislav]

No niestety nie tak szybko, wiesz tylko tyle, że jeśli \(\displaystyle{ a_1+\frac{x-1}{2}}\) nie jest całkowite, to (z uwagi na \(\displaystyle{ x \in \NN, \ a_1\in \NN}\)) podłoga \(\displaystyle{ a_1+\frac{x-1}{2}}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac 1 2}\) - tzn. przypadki poza \(\displaystyle{ \frac 1 2}\) da się w prosty sposób wykluczyć, ale to trzeba napisać. Żeby się nie bawić w takie ułamki, to ja bym zapisał:
\(\displaystyle{ x\left(a_{1}+ \frac{x-1}{2}\right)=2^{n}\\x\left( 2a_1+x-1\right) =2^{n+1}}\)
i teraz już oba czynniki po lewej są całkowite (a nawet naturalne), więc albo są postaci \(\displaystyle{ 2^k, 2^m}\) dla pewnych \(\displaystyle{ k,m \in \NN^+}\) (co szybko prowadzi do sprzeczności, bo liczby \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ 2a_1+x-1}\) dla \(\displaystyle{ x \in \NN, \ a_1\in \NN}\) różnią się parzystością), albo jedna z nich jest równa \(\displaystyle{ 1}\), a druga wynosi \(\displaystyle{ 2^{n+1}}\) (a wszakże \(\displaystyle{ x>2}\), co wynika z warunków zadania).

[PokEmil]

a4karo, bo dla \(\displaystyle{ k \ge 2}\), wtedy \(\displaystyle{ \frac{2a_{1}+x-1}{2}}\) nie będzie potęgą dwójki, tak?

[a4karo]

a4karo, bo dla \(\displaystyle{ k \ge 2}\), wtedy \(\displaystyle{ \frac{2a_{1}+x-1}{2}}\) nie będzie potęgą dwójki, tak?

Nie przeczytałeś posta Premislava? On ten przypadek właśnie rozwiązał

[PokEmil]

Dobrze, już rozumiem, dzięki wielkie wam obu!