potega dwójki

[maximum2000]

Pokaż że dla kazdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \geq 2}\), \(\displaystyle{ \underbrace{2^{2^{\cdots^2}}}_{n }- \underbrace{2^{2^{\cdots^2}}}_{n-1 }}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ n}\).

[timon92]

spróbuj skorzystać z twierdzenia Eulera

[Richard del Ferro]

Zauwaz, że jak damy
\(\displaystyle{ \underbrace{2^{2^{\cdots^2}}}_{n-1}=x}\)
To otrzymamy równanie
\(\displaystyle{ x^2-x}\)

Stąd \(\displaystyle{ x^2-x=x(x-1)=\underbrace{2^{2^{\cdots^2}}}_{n-1}(\underbrace{2^{2^{\cdots^2}}}_{n-1}-1)}\)

W sumie to po prostu skorzystaj ze słabszego od twierdzenia Eulera, małego twierdzenia Fermata, u nas po prostu

\(\displaystyle{ p=2}\)
\(\displaystyle{ a=\underbrace{2^{2^{\cdots^2}}}_{n-1}}\)

Chodziło o to, żeby zauważyc, że pierwszy człon tej sumy jest kwadratem tego drugiego i tyle.

[bakala12]

Richard del Ferro, masz udowodnić podzielność przez \(\displaystyle{ n}\), o którym nie wiesz, że jest pierwsze, więc nie można użyć małego twierdzenia Fermata.
Po drugie, nie dostaniesz z Twojego podstawienia \(\displaystyle{ x^2-x}\) tylko \(\displaystyle{ 2^x-x}\).