Rozwiązać równanie diofantyczne

[tomwanderer]

W książce "101 problems in algebra from the training of the USA IMO team" znalazłem zadanie polegające na znalezieniu wszystkich par (x,y) liczb całkowitych spełniających równanie:

\(\displaystyle{ x^3+y^3=(x+y)^2}\)

Zainteresowało mnie to i (tak mi się wydaje) udało mi się je rozwiązać bez znajomości żadnej teorii równań diofantycznych. Chciałbym prosić o weryfikację oraz ewentualnie wskazanie prostszego sposobu:

Zauważam, że \(\displaystyle{ (0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (x,-x)}\) dla \(\displaystyle{ x=1,2,3,...}\) są rozwiązaniami. Ponadto jeżeli \(\displaystyle{ (x,y)}\) jest rozwiązaniem, to \(\displaystyle{ (y,x)}\) także.

Następnie przekształcam lewą stronę i otrzymuję:

\(\displaystyle{ (x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)^2}\)

Przy założeniu \(\displaystyle{ y \neq -x}\) mogę podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ (x+y)}\) i zapisać:

\(\displaystyle{ x^2-xy+y^2=x+y}\)

\(\displaystyle{ x^2-x+y^2-y=xy}\)

\(\displaystyle{ x(x-1)+y(y-1)=xy}\)

Mogę podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ x}\) i otrzymuję:

\(\displaystyle{ y=x-1+ \frac{y}{x} (y-1)}\)

I teraz to, do czego mam lekkie wątpliwości: niezależnie od tego, że y jest uwikłane, postanawiam rozważać, kiedy prawa strona jest całkowita. A jest w następujących przypadkach:

\(\displaystyle{ 1. \frac{y}{x}=a, a \in \mathbb{Z}}\)
---> Wstawiam do równania \(\displaystyle{ y=ax}\), otrzymuję \(\displaystyle{ x=\frac{a+1}{a^2-a+1}}\), oczywiście licznik \(\displaystyle{ \geq}\) mianownik, stąd \(\displaystyle{ a\in \{0,1,2\}}\). Podstawiam i otrzymuję rozwiązania: \(\displaystyle{ (1,0), (1,2), (2,2)}\).

\(\displaystyle{ 2. y-1=ax}\)
---> Analogicznie jak wyżej,

\(\displaystyle{ 3.x=1}\)

Ostatecznie rozwiązania, jakie dostaję to te wymienione wyżej oraz rzecz jasna rozwiązania, jakie otrzymam po zamianie x i y rolami.

[Elayne]

Prawie taki sam schemat rozwiązania jest podany w przytoczonej pozycji Andreescu i Fenga...

[kerajs]

ewentualnie wskazanie prostszego sposobu

Proponuję trochę inne, nie wiem czy prostsze, zwinięcie:

\(\displaystyle{ x^2-xy+y^2=x+y}\)

można przekształcić w:
\(\displaystyle{ \left( y- \frac{x+1}{2} \right)^2+ \frac{3}{4}\left( x-1\right)^2=1}\)

Wtedy ewentualne rozwiązania dostanie się po wstawieniu za x liczb 0, 1 oraz 2 do równania:
\(\displaystyle{ \left( 2y-x-1 \right)^2+ 3\left( x-1\right)^2=4}\)