Znaleźć liczby wymierne

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
miyaka98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 9 lis 2017, o 23:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Znaleźć liczby wymierne

Post autor: miyaka98 »

Niech \(\displaystyle{ a, b}\) będą liczbami wymiernymi oraz \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} \neq 0}\). Znaleźć liczby wymierne \(\displaystyle{ c, d}\) takie, że \(\displaystyle{ \left(a+b\sqrt{2} \right)\left(c+d\sqrt{2} \right)=1}\).
Nie mam pojęcia jak się za to zabrać
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Znaleźć liczby wymierne

Post autor: Premislav »

Po pierwsze, gdy \(\displaystyle{ a^2+b^2\neq 0}\) i \(\displaystyle{ a,b}\) są wymierne, to \(\displaystyle{ a+b\sqrt{2}\neq 0}\) (wynika to choćby z niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)) i analogicznie \(\displaystyle{ a-b\sqrt{2}\neq 0}\).
To można po prostu wyliczyć:
\(\displaystyle{ \left(a+b\sqrt{2} \right)\left(c+d\sqrt{2} \right)=1\\ c+d\sqrt{2}= \frac{1}{a+b\sqrt{2}} \\c+d\sqrt{2}= \frac{a-b\sqrt{2}}{(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})} \\c+d\sqrt{2}= \frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2} \\c+d\sqrt{2}=\frac{a}{a^2-2b^2}+\frac{-b}{a^2-2b^2}\sqrt{2}}\),
stąd \(\displaystyle{ c=\frac{a}{a^2-2b^2}, \ d=-\frac{b}{a^2-2b^2}}\).
Mamy ogólnie
\(\displaystyle{ x+y\sqrt{2}=z+t\sqrt{2} \Leftrightarrow x=z \wedge y=t}\)
dla dowolnych liczb wymiernych \(\displaystyle{ x,y,z,t}\), a nawet dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej bezkwadratowej (niepodzielnej przez kwadrat liczby całkowitej większej od \(\displaystyle{ 1}\)) \(\displaystyle{ n}\) jest \(\displaystyle{ x+y\sqrt{n}=z+t\sqrt{n} \Leftrightarrow x=z\wedge y=t}\)
dla dow. wymiernych \(\displaystyle{ x,y,z,t.}\)
miyaka98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 9 lis 2017, o 23:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Re: Znaleźć liczby wymierne

Post autor: miyaka98 »

Bardzo dziękuję za odpowiedź
ODPOWIEDZ