Jak zwinąć sumę \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n 2^{\omega((i, n))}}\) ?
Uwagi: \(\displaystyle{ (i, n)}\) jest największym wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ i}\) i \(\displaystyle{ n}\) , zaś \(\displaystyle{ \omega(m)}\) to ilość dzielników pierwszych liczby \(\displaystyle{ m}\) oraz \(\displaystyle{ n = p_1^{m_1}... p_k^{m_k}}\)
Suma z omegą
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11373
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5745
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Suma z omegą
To co mi przyszło do głowy to takie zwinięcie:
\(\displaystyle{ \sum_{d_{i}|n}^{}\phi\left( \frac{n}{d_{i}} \right)2^i}\)
\(\displaystyle{ \phi}\) - to funkcja eulera...
gdzie: \(\displaystyle{ i}\) oznacza ilość liczb pierwszych wchodzących w skład \(\displaystyle{ d_i}\)
np.: dla:\(\displaystyle{ n=6}\)
\(\displaystyle{ \phi\left( \frac{6}{1} \right)2^0+ \phi\left( \frac{6}{2} \right)2^1+\phi\left( \frac{6}{3} \right)2^1+\phi\left( \frac{6}{6} \right)2^2=2 \cdot 2^0+2 \cdot 2^1+1 \cdot 2^1+1 \cdot 2^2=12}\)
Co zgadza się...
\(\displaystyle{ \sum_{d_{i}|n}^{}\phi\left( \frac{n}{d_{i}} \right)2^i}\)
\(\displaystyle{ \phi}\) - to funkcja eulera...
gdzie: \(\displaystyle{ i}\) oznacza ilość liczb pierwszych wchodzących w skład \(\displaystyle{ d_i}\)
np.: dla:\(\displaystyle{ n=6}\)
\(\displaystyle{ \phi\left( \frac{6}{1} \right)2^0+ \phi\left( \frac{6}{2} \right)2^1+\phi\left( \frac{6}{3} \right)2^1+\phi\left( \frac{6}{6} \right)2^2=2 \cdot 2^0+2 \cdot 2^1+1 \cdot 2^1+1 \cdot 2^2=12}\)
Co zgadza się...