Test pierwszości dla bardzo dużej liczby.

MKultra · Post autor: **MKultra** » 2 gru 2017, o 19:27

Cześć!

Chciałbym określić czy taka liczba \(\displaystyle{ 2 ^{2 ^{127}-1 }-1}\) jest pierwsza czy nie.
Wiem, że jest ona znacznie większa od największej znanej liczby pierwszej Mersenne'a, ale mam dość duże przeczucie, że jest pierwsza.
Jeżeli obliczenia będą zbyt duże to czy było możliwe podłączenie do projekty typu Polymath itp.?

Pozdrawiam.

Kera · Post autor: **Kera** » 2 gru 2017, o 22:41

Moim zdaniem jet liczbą złożoną ponieważ:
\(\displaystyle{ q := 2 p + 1}\) jest liczbą złożoną a nie liczbą pierwszą, wypowiedź swą opieram na
związku liczb złożonych Mersenne’a z liczbami pierwszymi Germain.
Nie jestem ekspertem, więc mogę się mylić.

PoweredDragon · Post autor: **PoweredDragon** » 3 gru 2017, o 00:11

Ale skoro \(\displaystyle{ q := 2p+1}\) jest złożona, to znaczy, że \(\displaystyle{ p}\) nie jest liczbą pierwszą Germain i nie możemy wnioskować nic nt. podzielności przez nią...

Kaf · Post autor: **Kaf** » 3 gru 2017, o 21:19

Czyżbyś stawiał hipotezę, że każdy element ciągu danego rekurencją
\(\displaystyle{ M_1 = 2,\ M_{n+1}=2^{M_n}-1}\)
jest liczbą pierwszą?

Kera · Post autor: **Kera** » 4 gru 2017, o 10:22

Masz racje PoweredDragon, co prawda pierwsze trzy liczby ciągu zaproponowanego przez Kaf są liczbami pierwszymi, ale są to początkowe liczby pierwsze mające bardzo wysoki stopień prawdopodobieństwa bycia liczbami pierwszymi. Poza tym MKultra zaproponował ciekawą liczbę bycia pierwszą. Moją propozycją jest na razie \(\displaystyle{ 10^{10^{8}}+13}\) , bo do tej pory nie znalazłem dzielnika.

MKultra · Post autor: **MKultra** » 4 gru 2017, o 19:54

Kaf pisze:Czyżbyś stawiał hipotezę, że każdy element ciągu danego rekurencją
\(\displaystyle{ M_1 = 2,\ M_{n+1}=2^{M_n}-1}\)
jest liczbą pierwszą?

Ta hipoteza jest to projekt badawczy nad którym pracuje grupa matematyków z Polski

Brombal · Post autor: **Brombal** » 12 gru 2017, o 11:56

Można tą liczbę zapisać jako:
\(\displaystyle{ 2^{170141183460469231731687303715884105727}-1}\)
A dalej tylko \(\displaystyle{ 170141183460469231731687303715884105727}\) razy pomnożyć przez \(\displaystyle{ 2}\) i odjąć \(\displaystyle{ 1}\) i test aks...
Pozdrówka

-- 12 gru 2017, o 14:10 --

To powyżej to taki żarcik.
Jak można prosto oszacować? Aby zapisać tą liczbę w zapisie dziesiętnym, potrzeba jedynie ok.
\(\displaystyle{ 51217599715257498254652122447982527514}\) cyfr. Potrzebny byłby chyba taki nieco większy dysk...
Pozdrówka

-- 12 gru 2017, o 17:49 --

Kera pisze:...Moją propozycją jest na razie \(\displaystyle{ 10^{10^{8}}+13}\) , bo do tej pory nie znalazłem dzielnika.

Muszę Cię Kera zmartwić - na szybkiego
\(\displaystyle{ 10^{10^{8}}+13 | 9547}\)
\(\displaystyle{ 10^{10^{8}}+13 | 1809683}\)

Kera · Post autor: **Kera** » 12 gru 2017, o 17:45

Brombal nie wiem jak to liczyłeś ale:

Kera pisze:...Moją propozycją jest na razie \(\displaystyle{ 10^{10^{8}}+13}\) , bo do tej pory nie znalazłem dzielnika.

Brombal pisze:Muszę Cię Kera zmartwić - na szybkiego
\(\displaystyle{ 10^{10^{8}}+13 | 9547}\)
\(\displaystyle{ 10^{10^{8}}+13 | 1809683}\)

podane liczby dzielą:
\(\displaystyle{ 10^{10^{8}}+2409 | 9547}\)
\(\displaystyle{ 10^{10^{8}}+315391 | 1809683}\)

PoweredDragon · Post autor: **PoweredDragon** » 12 gru 2017, o 17:57

Jak dla mnie sam zapis \(\displaystyle{ a \mid b}\) gdzie \(\displaystyle{ a > b}\) jest dosyć dziwny, ponieważ nie rozumiem co oznacza, mógłby mi to ktoś wyjaśnić?

Kera · Post autor: **Kera** » 12 gru 2017, o 18:13

tak lepiej:

\(\displaystyle{ \frac{10^{10^{8}}+2409}{9547}}\)

\(\displaystyle{ \frac{10^{10^{8}}+315391}{1809683}}\)

Brombal · Post autor: **Brombal** » 12 gru 2017, o 18:18

PoweredDragon - w zapisie wszyscy "wią" o co chodzi

\(\displaystyle{ 10^{10^{8}}+2409 | 9547}\)?

mi na szybkiego wychodzi
\(\displaystyle{ 10^{10^{8}}+2409 | 283}\)
\(\displaystyle{ 10^{10^{8}}+2409 | 643}\)
\(\displaystyle{ 10^{10^{8}}+2409 | 196073}\)
widocznie mam coś skopane albo ktoś inny ma coś skopane . Programik do tego obliczenia napisałem z ręki ale nie widzę błędów .

\(\displaystyle{ 10^{10^{8}}+315391 | 11}\) co łatwo udowodnić \(\displaystyle{ 3 + 5+ 9 =17,\ 1 +1+3 +1 =6,\ 17-6 = 11}\)
\(\displaystyle{ 10^{10^{8}}+315391 | 19}\)

Kera · Post autor: **Kera** » 12 gru 2017, o 18:32

a co z \(\displaystyle{ 10^{10^{8}}}\) Brombal

Brombal · Post autor: **Brombal** » 12 gru 2017, o 18:52

to ta jedyneczka zaraz za \(\displaystyle{ 17,}\) .

Kera · Post autor: **Kera** » 12 gru 2017, o 19:35

Dopiero teraz zauważyłem że zapomniałem o jedynce. Powinno być:
\(\displaystyle{ 10^{10^{8}-1}+13}\)
Brombal jeżeli mój program działa poprawnie, to żadna liczba pierwsza do 30 000 nie dzieli \(\displaystyle{ 10^{10^{8}-1}+13}\) , mógłbyś to potwierdzić?

PoweredDragon · Post autor: **PoweredDragon** » 12 gru 2017, o 20:08

Skoro już przy tym jesteśmy, to

\(\displaystyle{ a \mid b}\) oznacza, że \(\displaystyle{ a}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ b}\), a nie \(\displaystyle{ b}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ a}\); stąd zapis \(\displaystyle{ a \mid b}\) dla \(\displaystyle{ a > b}\) nie ma sensu. Tak samo z resztą zapis \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) jest pozbawiony sensu.

Co do liczby
\(\displaystyle{ 10^{{10^8}-1}+13}\) , wg mojego programu żadna liczba pierwsza do 10 tys. tego nie dzieli, więc wystarczy sprawdzenie od 10k do 30k.

Matematyka.pl