Udowodnić, że liczba jest niewymierna

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
lolo666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 22 wrz 2017, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: City

Udowodnić, że liczba jest niewymierna

Post autor: lolo666 »

Mam udowodnić, że liczby \(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)}}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n}}\) są liczbami niewymiernymi. Zacząłem od pierwszego przykładu, stosując dowodzenie nie wprost, czyli założyłem, że liczba jest wymierna, a oto co zrobiłem do tej pory:
\(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)} = \frac{p}{q} \\
NWD(p,q) = 1 \\
n(n+1) = \frac{ p^{2} }{q^{2}} \\
n(n+1) \cdot q^{2} = p^{2}}\)


Zauważam, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty, więc lewa strona równania jest parzysta, niezależnie od \(\displaystyle{ q}\). A więc prawa strona równania również musi być parzysta. I tu nie wiem co dalej robić. Czy pod \(\displaystyle{ n(n+1)}\) podłożyć jakąś zmienna np \(\displaystyle{ r}\) czy coś innego? I jak zabrać się z drugim zadaniem. Znaczy na pewno do kwadratu, ale co dalej? Jakie dobre rady związane z tym zadaniem?
Pozdro
Ostatnio zmieniony 25 lis 2017, o 22:51 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Zmienne w tekście również zapisuj LaTeXem. Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Udowodnić, że liczba jest niewymierna

Post autor: Premislav »

Poprawnie uzyskałeś
\(\displaystyle{ n(n+1) \cdot q^{2} = p^{2}}\)
Teraz zauważ, że \(\displaystyle{ \NWD(n,n+1)=1}\), a ponieważ w rozkładzie \(\displaystyle{ p^2}\) na czynniki pierwsze wszystkie liczby pierwsze wystąpią z parzystą potęgą, więc zarówno \(\displaystyle{ n}\), jak i \(\displaystyle{ n+1}\) muszą być także kwadratami liczb naturalnych, ale dla \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) jest to niemożliwe, bo \(\displaystyle{ (k+1)^2-k^2=2k+1>1}\) dla każdego \(\displaystyle{ k\in
\NN^+}\)
. Należy jeszcze nadmienić, że dla \(\displaystyle{ n=0}\) dostajemy jednak kwadrat, ale zapewne intencją było rozważenie \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\).

Co do tego drugiego (zakładamy znów \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\)), wymierną jest liczba
\(\displaystyle{ 1=(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\), więc albo obie liczby \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\) i ta druga są wymierne, albo obie są niewymierne (iloczyn niezerowej liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną).
Jeżeli obie są wymierne, to zarówno ich suma, równa \(\displaystyle{ 2\sqrt{n+1}}\), jak i ich różnica, równa \(\displaystyle{ 2\sqrt{n}}\), są wymierne, a stąd tak \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}}\), jak i \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) są wymierne, ale to jest sprzeczność, bo z poprzedniego zadania wiemy, że \(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)}}\) jest niewymierna, a przecież iloczyn liczb wymiernych jest wymierny.
Zatem zarówno \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\), jak i \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\) są niewymierne, c.n.d.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Udowodnić, że liczba jest niewymierna

Post autor: a4karo »

Drugie można prościej: jeżeli \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\) jest wymierna, to jej kwadrat \(\displaystyle{ 2n+1-2\sqrt{n(n+1)}}\) też, więc \(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)}}\) też, a to jest niemożliwe.-- 26 lis 2017, o 00:54 --Pierwsze też można trickowo:
Niech \(\displaystyle{ a=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\) Wtedy \(\displaystyle{ \frac{1}{a}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
a stąd
\(\displaystyle{ a^2\cdot \frac{1}{a^2}=1}\) i \(\displaystyle{ a^2+\frac{1}{a^2}=2(2n+1)}\)

Liczby \(\displaystyle{ a^2}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{a^2}}\) są zatem pierwiastkami trójmianu \(\displaystyle{ x^2-2(n+1)x+1}\), więc są niewymierne. Ale \(\displaystyle{ a^2=2n+1-2\sqrt{n(n+1)}}\), więc ten pierwiastek jest niewymierny.
lolo666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 22 wrz 2017, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: City

Udowodnić, że liczba jest niewymierna

Post autor: lolo666 »

Premislav poruszamy się w zbiorze liczb naturalnych, więc \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Zapomniałem o tym dodać
Wszystko ok, tylko nie rozumiem za bardzo tego:
a ponieważ w rozkładzie \(\displaystyle{ p^2}\) na czynniki pierwsze wszystkie liczby pierwsze wystąpią z parzystą potęgą, więc zarówno n, jak i n+1 muszą być także kwadratami liczb naturalnych,
Dlaczego muszą być kwadratami?

a4karo nie wpadłbym na to, ale fajny i prosty sposób
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Udowodnić, że liczba jest niewymierna

Post autor: PoweredDragon »

Bo gdyby nie były kwadratami to \(\displaystyle{ n(n+1)}\) nie może być kwadratem liczby wymiernej (\(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+1}\) nie mają żadnego wspólnego dzielnika poza 1), a w rezultacie pierwiastek kwadratowy z tej liczby nie będzie wymierny
Biel124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 28 wrz 2017, o 18:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Udowodnić, że liczba jest niewymierna

Post autor: Biel124 »

n jest całkowite?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Udowodnić, że liczba jest niewymierna

Post autor: a4karo »

Biel124 pisze:n jest całkowite?
a nawet naturalne. Bez tego założenia łatwo pokazać kontrprzykład
ODPOWIEDZ