Jaka to liczba która ma...

[xxDorianxx]

Liczba naturalna ma dokładnie cztery dzielniki których suma jest równa \(\displaystyle{ s}\).Znajdz te liczbę jeśli \(\displaystyle{ s=56}\).
Nawet nie wiem jak zacząć,zadanie rozumiem ale ruszyć to nie potrafię.

[szw1710]

Liczbę dzielników ustalisz z rozkładu na czynniki pierwsze. Jeśli nasza liczba ma rozkład na dwa różne czynniki \(\displaystyle{ pq}\), to dzielnikami są \(\displaystyle{ 1,p,q,pq.}\) Jeśli mamy \(\displaystyle{ p^2}\), to dzielniki są postaci \(\displaystyle{ 1,p,p^2}\), więc za mało. Dla \(\displaystyle{ s=56}\) musisz przedstawić \(\displaystyle{ 56=1+p+q+pq}\) i znaleźć wszystkie takie możliwości. Np. pasuje \(\displaystyle{ p=3,q=13}\) i mamy liczbę \(\displaystyle{ 39}\). Dalej szukaj sam.

Chyba określiłem jak bym się zabrał do zadania.

[Belf]

Niech dzielnikami tej liczby będą: \(\displaystyle{ 1 , p , q , n}\) ( \(\displaystyle{ n}\) to szukana liczba )

Mamy:

\(\displaystyle{ 1 + p+q+n=56}\) ( \(\displaystyle{ p,q}\) - liczby pierwsze )

Ponieważ liczba \(\displaystyle{ n}\) ma tylko cztery dzielniki, więc: \(\displaystyle{ \frac{n}{p}=q \Leftrightarrow p\cdot q=n}\)

Mamy uklad równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 + p+q+n=56 \\ p\cdot q=n \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow (p+1)(q+1)=56}\)

i rozwiązuj

Np.: \(\displaystyle{ 4\cdot 14=56}\) i mamy: \(\displaystyle{ p=3}\) oraz \(\displaystyle{ q=13}\) oraz \(\displaystyle{ p\cdot q=39}\)

a więc szukana liczba , to \(\displaystyle{ 39}\)

[xxDorianxx]

Dzięki

[bakala12]

Zapomnieliście o drugim przypadku. Liczba naturalna ma 4 dzielniki wtedy i tylko wtedy gdy:
\(\displaystyle{ n=pq}\) gdzie \(\displaystyle{ p,q}\) są różnymi liczbami pierwszymi albo gdy jest sześcianem liczby pierwszej: \(\displaystyle{ n=p^3}\). Można się przekonać, że w tym drugim przypadku rozwiązań nie ma, ale aby rozwiązanie było kompletne trzeba rozważyć ten przypadek.

[a4karo]

Zapomnieliście o drugim przypadku. Liczba naturalna ma 4 dzielniki wtedy i tylko wtedy gdy:
\(\displaystyle{ n=pq}\) gdzie \(\displaystyle{ p,q}\) są różnymi liczbami pierwszymi albo gdy jest sześcianem liczby pierwszej: \(\displaystyle{ n=p^3}\). Można się przekonać, że w tym drugim przypadku rozwiązań nie ma, ale aby rozwiązanie było kompletne trzeba rozważyć ten przypadek.

Ano nie trzeba, bo wtedy \(\displaystyle{ q=p^2}\) i podpada pod ten sam schemat.

[PoweredDragon]

Zapomnieliście o drugim przypadku. Liczba naturalna ma 4 dzielniki wtedy i tylko wtedy gdy:
\(\displaystyle{ n=pq}\) gdzie \(\displaystyle{ p,q}\) są różnymi liczbami pierwszymi albo gdy jest sześcianem liczby pierwszej: \(\displaystyle{ n=p^3}\). Można się przekonać, że w tym drugim przypadku rozwiązań nie ma, ale aby rozwiązanie było kompletne trzeba rozważyć ten przypadek.

Ano nie trzeba, bo wtedy \(\displaystyle{ q=p^2}\) i podpada pod ten sam schemat.

Ano niezbyt, skoro powiedzieliśmy, że \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są pierwsze

[a4karo]

Tys prowda. Ale wystarczy założyć, żę jedynymi dzielnikami sa liczby \(\displaystyle{ 1,p,q,n}\) i już sprawa się prostuje. (pierwszość mniejszej liczby jest wtedy prostym wnioskiem, a gdy spróbujemy udowodnić pierwszość drugiej, to natkniemy się na problem).

Tak zresztą zrobił to szw1710 jako pierwszy podając jako pierwszy rozwiązanie i do tego rozwiązania komentarz bakala12 się nie stosuje.