prosze o pomoc nie moge nic wymyślić :/
Niech a,b beda liczbami wymiernymi oraz \(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2} \neq 0}\) Znaleść liczby wymierne c,d takie, że \(\displaystyle{ (a+b \sqrt{2})(c+d \sqrt{2})=1}\)
liczby wymierne
-
kaissa0012
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 18 lis 2017, o 16:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 3 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: liczby wymierne
Skoro \(\displaystyle{ a^2+b^2\neq 0}\), to \(\displaystyle{ a+b\sqrt{2}\neq 0}\) (to proste ćwiczenie dla Ciebie, nie chce mi się tego robić, przez sprzeczność łatwo idzie, o ile skorzystasz z tego, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą niewymierną). Zauważ, że tak samo to działa dla \(\displaystyle{ b:=-b}\).
Możemy więc wówczas zapisać, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{a+b\sqrt{2}}=\frac{a-b\sqrt{2}}{(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})}=\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}=\frac{a}{a^2-2b^2}+ \frac{-b}{a^2-2b^2} \sqrt{2}}\),
zatem można wziąć \(\displaystyle{ c=\frac{a}{a^2-2b^2}, \ d= \frac{-b}{a^2-2b^2}}\).
-- 19 lis 2017, o 16:55 --
W sumie jest za tym od razu pewien argument algebraiczny
ale pewnie nie o to chodzi w zadaniu.
Możemy więc wówczas zapisać, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{a+b\sqrt{2}}=\frac{a-b\sqrt{2}}{(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})}=\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}=\frac{a}{a^2-2b^2}+ \frac{-b}{a^2-2b^2} \sqrt{2}}\),
zatem można wziąć \(\displaystyle{ c=\frac{a}{a^2-2b^2}, \ d= \frac{-b}{a^2-2b^2}}\).
-- 19 lis 2017, o 16:55 --
W sumie jest za tym od razu pewien argument algebraiczny
ale pewnie nie o to chodzi w zadaniu.