Rozstrzygnąć o podzielności

[Ogorek00]

Dane sa funkcje:
\(\displaystyle{ f(x)= 2^{x}}\)
\(\displaystyle{ g(x)=f(f(f(f(f(f(f(x)))))))}\)
Rozstrzygnąć, czy liczba \(\displaystyle{ g(3)-g(0)}\) jest podzielna przez liczbę \(\displaystyle{ g(2)-g(0)}\).

[arek1357]

Kluczem tego zadania jest to, że:

(*)\(\displaystyle{ 2^x-1|2^y-1}\)

jeżeli:

\(\displaystyle{ x|y}\)

niech:

wprowadźmy funkcję pomocniczą:

\(\displaystyle{ g_{n}(x)=\underbrace{f...f}_{n}(x)}\)


\(\displaystyle{ g_{7}(3)=2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^3}}}}}}\)

\(\displaystyle{ g_{7}(2)=2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^2}}}}}}\)

\(\displaystyle{ g_{7}(0)=2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}\)

zauważmy też, że:

\(\displaystyle{ g_{n}(0)=g_{n-1}(1)}\)


sprawdzamy podzielność:

\(\displaystyle{ \frac{g_{7}(3)-g_{7}(0)}{g_{7}(2)-g_{7}(0)}=}\)



\(\displaystyle{ \frac{g_{6}(1)\left( 2^{g_{6}(3)-g_{6}(1)}-1\right) }{g_{6}(1)\left( 2^{g_{6}(2)-g_{6}(1)}-1\right)}}\)


przed nawiasami się skraca, i z uwagi na własność: (*)


wystarczy sprawdzać czy jest całkowite:

\(\displaystyle{ \frac{g_{6}(3)-g_{6}(1)}{g_{6}(2)-g_{6}(1)}}\)


co analogicznie i równoważnie z uwagi na (*) sprawdzamy czy:


\(\displaystyle{ \frac{g_{5}(3)-g_{5}(1)}{g_{5}(2)-g_{5}(1)}}\)

........................................................................................


postępując tak dalej otrzymamy:


\(\displaystyle{ \frac{ 2^{2^3}-2^2}{ 2^{2^2}-2^2}}\)

i dalej z uwagi na (*):

sprawdzamy:

\(\displaystyle{ \frac{2^3-2}{2^2-2}= \frac{6}{2}=3}\)

czyli jest podzielne, zadanie polegało żeby za każdym razem zdjąć jedno piętro potęgi...

[bakala12]

W kwestiach formalnych:

przed nawiasami się skraca, i z uwagi na własność: (*)
wystarczy sprawdzać czy jest całkowite:

\(\displaystyle{ \frac{g_{6}(3)-g_{6}(1)}{g_{6}(2)-g_{6}(1)}}\)

Niestety:
\(\displaystyle{ \frac{a^{x}}{a^{y}} \neq a^{\frac{x}{y}}}\)
Tymczasem powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x-y}}\)
co niesamowicie skraca rozumowanie

[arek1357]

Niestety:
\(\displaystyle{ \frac{a^{x}}{a^{y}} \neq a^{\frac{x}{y}}}\)
Tymczasem powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x-y}}\)
co niesamowicie skraca rozumowanie

Nie bardzo wiem o co ci chodzi moje rozumowanie polegało na kolejnym zdejmowaniu pięter i sprawdzaniu podzielności tak indukcyjnie z uwagi na własność (*)

a tego na pewno nie pisałem:

\(\displaystyle{ \frac{a^{x}}{a^{y}} \neq a^{\frac{x}{y}}}\)