Dane sa funkcje:
\(\displaystyle{ f(x)= 2^{x}}\)
\(\displaystyle{ g(x)=f(f(f(f(f(f(f(x)))))))}\)
Rozstrzygnąć, czy liczba \(\displaystyle{ g(3)-g(0)}\) jest podzielna przez liczbę \(\displaystyle{ g(2)-g(0)}\).
Rozstrzygnąć o podzielności
-
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 2 sty 2017, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 42 razy
Rozstrzygnąć o podzielności
Ostatnio zmieniony 18 lis 2017, o 19:28 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Stosowanie LaTeX-a zwiększa czytelność zapisu wyrażeń matematycznych.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Stosowanie LaTeX-a zwiększa czytelność zapisu wyrażeń matematycznych.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Rozstrzygnąć o podzielności
Kluczem tego zadania jest to, że:
(*)\(\displaystyle{ 2^x-1|2^y-1}\)
jeżeli:
\(\displaystyle{ x|y}\)
niech:
wprowadźmy funkcję pomocniczą:
\(\displaystyle{ g_{n}(x)=\underbrace{f...f}_{n}(x)}\)
\(\displaystyle{ g_{7}(3)=2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^3}}}}}}\)
\(\displaystyle{ g_{7}(2)=2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^2}}}}}}\)
\(\displaystyle{ g_{7}(0)=2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}\)
zauważmy też, że:
\(\displaystyle{ g_{n}(0)=g_{n-1}(1)}\)
sprawdzamy podzielność:
\(\displaystyle{ \frac{g_{7}(3)-g_{7}(0)}{g_{7}(2)-g_{7}(0)}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{g_{6}(1)\left( 2^{g_{6}(3)-g_{6}(1)}-1\right) }{g_{6}(1)\left( 2^{g_{6}(2)-g_{6}(1)}-1\right)}}\)
przed nawiasami się skraca, i z uwagi na własność: (*)
wystarczy sprawdzać czy jest całkowite:
\(\displaystyle{ \frac{g_{6}(3)-g_{6}(1)}{g_{6}(2)-g_{6}(1)}}\)
co analogicznie i równoważnie z uwagi na (*) sprawdzamy czy:
\(\displaystyle{ \frac{g_{5}(3)-g_{5}(1)}{g_{5}(2)-g_{5}(1)}}\)
........................................................................................
postępując tak dalej otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{ 2^{2^3}-2^2}{ 2^{2^2}-2^2}}\)
i dalej z uwagi na (*):
sprawdzamy:
\(\displaystyle{ \frac{2^3-2}{2^2-2}= \frac{6}{2}=3}\)
czyli jest podzielne, zadanie polegało żeby za każdym razem zdjąć jedno piętro potęgi...
(*)\(\displaystyle{ 2^x-1|2^y-1}\)
jeżeli:
\(\displaystyle{ x|y}\)
niech:
wprowadźmy funkcję pomocniczą:
\(\displaystyle{ g_{n}(x)=\underbrace{f...f}_{n}(x)}\)
\(\displaystyle{ g_{7}(3)=2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^3}}}}}}\)
\(\displaystyle{ g_{7}(2)=2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^2}}}}}}\)
\(\displaystyle{ g_{7}(0)=2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}\)
zauważmy też, że:
\(\displaystyle{ g_{n}(0)=g_{n-1}(1)}\)
sprawdzamy podzielność:
\(\displaystyle{ \frac{g_{7}(3)-g_{7}(0)}{g_{7}(2)-g_{7}(0)}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{g_{6}(1)\left( 2^{g_{6}(3)-g_{6}(1)}-1\right) }{g_{6}(1)\left( 2^{g_{6}(2)-g_{6}(1)}-1\right)}}\)
przed nawiasami się skraca, i z uwagi na własność: (*)
wystarczy sprawdzać czy jest całkowite:
\(\displaystyle{ \frac{g_{6}(3)-g_{6}(1)}{g_{6}(2)-g_{6}(1)}}\)
co analogicznie i równoważnie z uwagi na (*) sprawdzamy czy:
\(\displaystyle{ \frac{g_{5}(3)-g_{5}(1)}{g_{5}(2)-g_{5}(1)}}\)
........................................................................................
postępując tak dalej otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{ 2^{2^3}-2^2}{ 2^{2^2}-2^2}}\)
i dalej z uwagi na (*):
sprawdzamy:
\(\displaystyle{ \frac{2^3-2}{2^2-2}= \frac{6}{2}=3}\)
czyli jest podzielne, zadanie polegało żeby za każdym razem zdjąć jedno piętro potęgi...
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Re: Rozstrzygnąć o podzielności
W kwestiach formalnych:
\(\displaystyle{ \frac{a^{x}}{a^{y}} \neq a^{\frac{x}{y}}}\)
Tymczasem powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x-y}}\)
co niesamowicie skraca rozumowanie
Niestety:przed nawiasami się skraca, i z uwagi na własność: (*)
wystarczy sprawdzać czy jest całkowite:
\(\displaystyle{ \frac{g_{6}(3)-g_{6}(1)}{g_{6}(2)-g_{6}(1)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^{x}}{a^{y}} \neq a^{\frac{x}{y}}}\)
Tymczasem powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x-y}}\)
co niesamowicie skraca rozumowanie
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Rozstrzygnąć o podzielności
Nie bardzo wiem o co ci chodzi moje rozumowanie polegało na kolejnym zdejmowaniu pięter i sprawdzaniu podzielności tak indukcyjnie z uwagi na własność (*)Niestety:
\(\displaystyle{ \frac{a^{x}}{a^{y}} \neq a^{\frac{x}{y}}}\)
Tymczasem powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x-y}}\)
co niesamowicie skraca rozumowanie
a tego na pewno nie pisałem:
\(\displaystyle{ \frac{a^{x}}{a^{y}} \neq a^{\frac{x}{y}}}\)