Mam problem z 2. zadaniem Podlaskiego Konkursu Matematycznego z 2004r dla klas pierwszych liceum. Brzmi ono: "Wyznaczyć wszystkie pary \(\displaystyle{ (x, y)}\) nieujemnych liczb całkowitych spełniających równanie \(\displaystyle{ \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{810}}\).
Najpierw próbowałem pozbyć się pierwiastków. Doszedłem do postaci:
\(\displaystyle{ x^{2}+xy+y^{2}-2*810x-2*810y+810^{2}=0}\).
Następnie próbowałem coś zrobić ze wzorem skróconego mnożenia i wzorem \(\displaystyle{ ac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d)}\):
\(\displaystyle{ (x-y)^{2}+(x-810)^{2}+(y-810)^{2}+(2x-810)(2y-810)=810^{2}}\).
I... no i w sumie nic.
Postanowiłem więc, że trzeba zastosować coś innego.
\(\displaystyle{ \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{810}=\sqrt{9*9*10}=9\sqrt{10}}\)
Więc
\(\displaystyle{ 9\sqrt{10}=\sqrt{10}+8\sqrt{10}=2\sqrt{10}+7\sqrt{10}=3\sqrt{10}+6\sqrt{10}=4\sqrt{10}+5\sqrt{10}}\).
Więc, \(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=810 \end{cases}, \begin{cases} x=10 \\ y=640 \end{cases}, \begin{cases} x=40 \\ y=490 \end{cases}, \begin{cases} x=90 \\ y=360 \end{cases}, \begin{cases} x=160 \\ y=250 \end{cases}}\), z symetrii otrzymujemy kolejną piątkę rozwiązań.
Bezpośrednio sprawdzając, dziesiątka par \(\displaystyle{ (x, y)}\) jest rozwiązaniem tego równania.
Moje pytanie brzmi, czy istnieją jeszcze jakieś pary \(\displaystyle{ (x, y)}\)? Jeśli nie, to dlaczego? Nie mam pojęcia, co ja tu jeszcze mogę zrobić. :/
Wykazanie nierówności z pierwiastkami
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wykazanie nierówności z pierwiastkami
Ponieważ \(\displaystyle{ \ZZ \ni x-y= (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})=9\sqrt{10}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}\), zatem musi być \(\displaystyle{ \sqrt{x}-\sqrt{y}=c\cdot \sqrt{10}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ c}\) wymiernego (uwaga na zero, ale to niczego nie psuje). Stąd i z dodania/odjęcia od \(\displaystyle{ 9\sqrt{10}}\) już wynika, że jedyne możliwości to
\(\displaystyle{ \sqrt{x}=c_1\sqrt{10}, \sqrt{y}=c_2\sqrt{10}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ c_1, c_2}\) wymiernych i nieujemnych.
Ze wstawienia tego do \(\displaystyle{ \sqrt{x}+\sqrt{y}=9\sqrt{10}}\) widać już, że ma być ponadto
\(\displaystyle{ c_1 +c_2=9}\). No i jeszcze oczywiście liczby
\(\displaystyle{ x=10c_1^2, \ y=10c_2^2}\) muszą być całkowite. Krótka chwila zastanowienia prowadzi do wniosku, że \(\displaystyle{ c_1, c_2 \in \NN}\):
mamy \(\displaystyle{ 10=2^1\cdot 5^1}\) i jeżeli, dla ustalenia uwagi, weźmiemy \(\displaystyle{ c_1=\frac{p}{q}, \ p \in \NN, \ q\in \NN^+}\) oraz \(\displaystyle{ \NWD(p,q)=1}\), to \(\displaystyle{ 10c_1^2=10 \frac{p^2}{q^2}}\) i musi być
\(\displaystyle{ q^2|10}\), czyli \(\displaystyle{ q^2=1}\) (no, ewentualnie jeszcze jest przypadek \(\displaystyle{ c_1=0}\), gdzie nie możemy mieć takich wymagań, ale on jest trywialny). Analogicznie z \(\displaystyle{ c_2}\).
Zatem rozwiązania to
\(\displaystyle{ (x,y)=\left( 10k^2, 10(9-k)^2\right), \ k=0,1,2,\ldots 9}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x}=c_1\sqrt{10}, \sqrt{y}=c_2\sqrt{10}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ c_1, c_2}\) wymiernych i nieujemnych.
Ze wstawienia tego do \(\displaystyle{ \sqrt{x}+\sqrt{y}=9\sqrt{10}}\) widać już, że ma być ponadto
\(\displaystyle{ c_1 +c_2=9}\). No i jeszcze oczywiście liczby
\(\displaystyle{ x=10c_1^2, \ y=10c_2^2}\) muszą być całkowite. Krótka chwila zastanowienia prowadzi do wniosku, że \(\displaystyle{ c_1, c_2 \in \NN}\):
mamy \(\displaystyle{ 10=2^1\cdot 5^1}\) i jeżeli, dla ustalenia uwagi, weźmiemy \(\displaystyle{ c_1=\frac{p}{q}, \ p \in \NN, \ q\in \NN^+}\) oraz \(\displaystyle{ \NWD(p,q)=1}\), to \(\displaystyle{ 10c_1^2=10 \frac{p^2}{q^2}}\) i musi być
\(\displaystyle{ q^2|10}\), czyli \(\displaystyle{ q^2=1}\) (no, ewentualnie jeszcze jest przypadek \(\displaystyle{ c_1=0}\), gdzie nie możemy mieć takich wymagań, ale on jest trywialny). Analogicznie z \(\displaystyle{ c_2}\).
Zatem rozwiązania to
\(\displaystyle{ (x,y)=\left( 10k^2, 10(9-k)^2\right), \ k=0,1,2,\ldots 9}\)