Sprawdzanie wymierności liczby

[4711]

Dzień dobry,

sam nie wiem czy wybrałem odpowiedni dział do przedstawienia mojego problemu, jeśli nie to proszę uprzejmie o przeniesienie i przepraszam za kłopot.

Co do problemu, jest on następujący:
Zastanawiam się nad pewną metodą, którą posługuję się do sprawdzania wymierności liczb. Zapewne gdzieś popełniam błąd, wynikający z niezrozumienia tej metody i chciałbym prosić o kilka wskazówek, dzięki którym mógłbym rozwiązać moje wątpliwości.

Gdy np, chcę sprawdzić wymierność liczby \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) to zakładam, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}= \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ p}\) to liczby względnie pierwsze. Dochodzę po przekształceniach do \(\displaystyle{ 2q ^2{}=p ^2{}}\). Z tego wynika sprzeczność, bo liczba \(\displaystyle{ p}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\), więc można ją zapisać w postaci np. \(\displaystyle{ p ^2{}=2n ^2{}}\), co prowadzi nas do powtórzenia tego samego z liczbą \(\displaystyle{ q ^2{}}\), a nie zgadza się to z założeniem, które mówiło, że obie liczby składające się na dzielnik i mianownik, miały być liczbami względnie pierwszymi. I tutaj pojawia się pierwsze pytanie - czy gdzieś tutaj popełniłem błąd z zastosowaniem dowodzenia nie wprost, a wynik udało mi się uzyskać jedynie "przez przypadek"? Jeżeli nie to rozumiem, że mogę powtórzyć tą metodę dla każdej liczby pierwszej pod pierwiastkiem.
Ale co w takim razie z liczbami, które nie są liczbami pierwszymi, np. dla liczby \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\). To jest moje główne pytanie, które pojawia się, jeżeli gdzieś wcześniej nie popełniłem błędu. Bo ostatecznie, postępując tak jak w poprzednim przykładnie dochodzę do sytuacji, gdzie dostanę \(\displaystyle{ 4q ^2{}=p ^2{}}\). I znowu mogę zapisać \(\displaystyle{ p ^2{}=4n ^2{}}\) i powtórzyć to samo dla liczby \(\displaystyle{ q ^2{}}\) co doprowadzi mnie do tego, że liczby te nie mogą być względnie pierwsze. Ale chyba liczba \(\displaystyle{ \sqrt4{}}\) daje się zapisać w postaci \(\displaystyle{ \frac{q}{p}=2}\). I nie wiem co źle rozumiem, gdzie popełniam błąd. Bardzo kogoś proszę o jakieś rady/wskazanie błędów w tym co mówię.

[Premislav]

Z tego wynika sprzeczność, bo liczba p musi być podzielna przez 2, więc można ją zapisać w postaci np. \(\displaystyle{ p ^2{}=2n ^2{}}\), co prowadzi nas do powtórzenia tego samego z liczbą \(\displaystyle{ q ^2{}}\), a nie zgadza się to z założeniem, które mówiło, że obie liczby składające się na dzielnik i mianownik, miały być liczbami względnie pierwszymi.

No tutaj to się nie zgodzę, musisz jeszcze skorzystać z (dość oczywistego wprawdzie) faktu, że gdy liczba pierwsza \(\displaystyle{ r}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ q^n}\), gdzie \(\displaystyle{ q \in \ZZ,\ n \in \NN^+}\), to \(\displaystyle{ r^n}\) też dzieli \(\displaystyle{ q^n}\). Bo akurat po tym, co napisałeś, to doszedłbyś do
\(\displaystyle{ q^2=n^2}\) i niby gdzie tu sprzeczność?

[4711]

Zdecydowanie, popełniłem błąd, rzeczywiście prowadzi mnie to do \(\displaystyle{ q ^2{}=p ^2{}}\), z czego nie uzyskuję sprzeczności z założeniami. Na razie jestem barbarzyńcą w świecie matematyki, więc nawet takie trywialne dla większości problemy czasami stają się dla mnie zagadką. Niestety nie potrafię świadomie wykorzystać Twojej porady, ale spróbowałem jeszcze raz podejść do problemu i otrzymałem coś takiego:

1) Sprawdzam niewymierność dla liczby \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}= \frac{q}{p}}\)
\(\displaystyle{ 2= \frac{q ^2{} }{ p^2{} }}\)
\(\displaystyle{ 2p ^2{}= q^2{}}\), teraz na podstawie tego, że kwadrat liczby nieparzystej daje liczbę nieparzystą (\(\displaystyle{ (2k+1) ^2{}=2(2k ^2{}+2k)+1}\)) stwierdzam, że \(\displaystyle{ q ^2{}}\) musi dawać liczbę parzystą i zapisuję ją w postaci \(\displaystyle{ q ^2{}=(2n) ^2{}}\), co daje mi \(\displaystyle{ p ^2{}=2n ^2{}}\), a co prowadzi mnie do sprzeczności, bo skoro liczba \(\displaystyle{ p}\) również jest parzysta, to nie mogą być to liczby pierwsze.

2) Sprawdzam niewymierność dla liczby \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\).
\(\displaystyle{ \sqrt{3}= \frac{q}{p}}\)
\(\displaystyle{ 3= \frac{q ^2{} }{ p^2{} }}\)
\(\displaystyle{ 3p ^2{}= q^2{}}\), sprawdzam co się dzieje gdy liczbę \(\displaystyle{ 3*liczba parzysta}\) i \(\displaystyle{ 3*liczba nieparzysta}\) i dochodzę do wniosku, że w obu przypadkach wynik daje liczbę podzielną przez 3, dlatego \(\displaystyle{ q ^2{}=(3n) ^2{}}\). Z czego wynika w głównym równaniu, że \(\displaystyle{ p ^2{}=3n ^2{}}\) co jest sprzecznością, bo liczby nie mogą posiadać wspólnego dzielnika równego 3, gdy są liczbami względnie pierwszymi.

3) no i trzecie podejście do liczby wymiernej \(\displaystyle{ \sqrt4{}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{4}= \frac{q}{p}}\)
\(\displaystyle{ 4= \frac{q ^2{} }{ p^2{} }}\)
\(\displaystyle{ 4p ^2{}= q^2{}}\), i tutaj sprawdzam co się stanie gdy \(\displaystyle{ 4*(2k)}\) i \(\displaystyle{ 4*(2k+1)}\) no i okazuje się, że mogę zapisać \(\displaystyle{ q ^2{} =(2n) ^2{}}\), co daje mi w głównym równaniu \(\displaystyle{ p ^2{}= n^2{}}\). No i teraz co mi to równanie może powiedzieć o niewymierności liczby \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\)?

[Premislav]

1) teraz dobrze, z małą poprawką, że

to nie mogą być to liczby pierwsze.

to oczywiście jest prawda, ale chodzi raczej o to, że nie mogą być względnie pierwsze (nie zakładamy, że są pierwsze).
2) też wygląda OK.
3)

No i teraz co mi to równanie może powiedzieć o niewymierności liczby \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\)?

Absolutnie nic. I nie ma się co dziwić - ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{4}=2}\) jest liczbą wymierną, zatem próba udowodnienia, że jest niewymierna nie mogła się powieść (chyba że popełniłbyś błąd). Natomiast pamiętaj, że nieudana próba dowodu twierdzenia \(\displaystyle{ x}\) nie dowodzi, że \(\displaystyle{ x}\) jest nieprawdziwe (chyba że ta próba doprowadzi do znalezienia kontrprzykładu itp.).

[a4karo]

Załóż sobie, że \(\displaystyle{ \sqrt2=\frac{p}{q}}\) jest ułąmkiem NIESKRACALNYM. Łatwiej dostaniesz sprzeczność. Natomiast nie możesz zakładać nic o pierwszości \(\displaystyle{ p}\) ani \(\displaystyle{ q}\)

[Premislav]

Załóż sobie, że \(\displaystyle{ \sqrt2=\frac{p}{q}}\) jest ułąmkiem NIESKRACALNYM.

Gdzieś już to założenie widziałem, tylko zapisane w innej formie. Aha, już wiem, w pierwszym poście.

Gdy np, chcę sprawdzić wymierność liczby \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) to zakładam, że\(\displaystyle{ \sqrt{2}= \frac{p}{q}}\), gdzie q i p to liczby względnie pierwsze.

[4711]

Ale jeśli założę, że \(\displaystyle{ NWD (q,p)=1}\), a więc są one liczbami względnie pierwszymi, to jest to jednoznaczne z tym, że są one nieskracalne? Czy w nieskracalności występuje jeszcze jakaś osobna jakość, która pomoże mi przeprowadzić dowód?

Absolutnie nic. I nie ma się co dziwić - ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{4}=2}\) jest liczbą wymierną, zatem próba udowodnienia, że jest niewymierna nie mogła się powieść (chyba że popełniłbyś błąd). Natomiast pamiętaj, że nieudana próba dowodu twierdzenia x nie dowodzi, że x jest nieprawdziwe (chyba że ta próba doprowadzi do znalezienia kontrprzykładu itp.).

Jeszcze jakbyś był tak miły, to zadam pytanie z metodyki dowodu nie wprost, bo aktualnie tego nie rozumiem. Skoro założyłem sobie, że \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\) jest liczbą którą można zapisać jako iloraz dwóch liczb, i otrzymałem równanie \(\displaystyle{ q ^2{}= p^2{}}\) to czy na jego podstawie mogę stwierdzić, czy ta liczba jest wymierna lub niewymierna w jakiś sposób? Bo akurat tutaj przeprowadziłem próbę mając znajomość tego, że pewna liczba jest liczbą wymierną, ale co by było gdyby odpowiednik \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\) nie dawał mi na wstępnie tej pewności? Nie wiem czy się jasno wyraziłem, jeśli nie to postaram się przeformułować pytanie.

[a4karo]

Przeanalizuj dowód:
z faktu, że \(\displaystyle{ 3p^2=q^2}\) wynikało, że \(\displaystyle{ 3|q}\).
Czy tak samo jest w przypadku \(\displaystyle{ 4p^2=q^2}\)?