Dlaczego wyrażenie 0/0 nie ma sensu?

[Kalkulatorek]

Zastanawiałem się ostatnio nad tym, dlaczego wyżej wymieniony symbol nie jest normalną liczbą - w oparciu o aksjomaty udało mi się stworzyć coś w rodzaju uzasadnienia, ale nie jestem pewny, czy jest ono poprawne:

1. Wyrażenie \(\displaystyle{ \frac a b}\) nie jest częścią "języka" ciał, zdefiniujmy zatem \(\displaystyle{ \frac a b}\) jako \(\displaystyle{ ab^{-1}}\). Mamy więc \(\displaystyle{ \frac{0}{0} = 0 \cdot \frac{1}{0}}\)

2. Aksjomat o elemencie odwrotnym mówi wprost, że nie istnieje odwrotność zera, więc w sumie można by na tym skończyć, ale gdyby pociągnąć to dalej:
Załóżmy, że to wyrażenie ma pewną wartość: \(\displaystyle{ 0 \cdot \frac 1 0 = x \Leftrightarrow 0 \cdot 1 =
0 \cdot x}\)

3. Lemat: \(\displaystyle{ 0x = 0}\)
\(\displaystyle{ 1 = 1 + 0 \Leftrightarrow 1x = 1x + 0x \Leftrightarrow x = x + 0x \Leftrightarrow x + (-x) = x + (-x) + 0x \Leftrightarrow 0 = 0x}\)

4. Mamy zatem \(\displaystyle{ 0 \cdot 1 = 0 \cdot x}\). Z jednej strony mamy \(\displaystyle{ x = 1}\), z drugiej natomiast (z 3.)
\(\displaystyle{ 0 = 0\cdot x}\)
\(\displaystyle{ x}\) jest dowolną liczbą, a więc wartość wyrażenia nie jest dobrze zdefiniowana.
Czy jest to dobry dowód?

[Poszukujaca]

Twój sposób myślenia jest w porządku, jednak w czwartym punkcie chyba coś się nie zgadza. Dlaczego twierdzisz, że z jednej strony \(\displaystyle{ x=1}\)?

I w ogóle można by to wszystko napisać dużo szybciej

Załóżmy (tak jak to zrobiłeś), że nasze wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) ma pewną wartość, czyli że \(\displaystyle{ \frac{0}{0}=x}\).

Następnie z aksjomatów ciała liczb rzeczywistych mamy \(\displaystyle{ \frac{0}{0} \cdot 0 = x \cdot 0}\), czyli mamy \(\displaystyle{ 0 = x \cdot 0}\), a to zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\).

Założyliśmy, że \(\displaystyle{ x}\) jest pewną określoną liczba, jednak teraz widzimy, że \(\displaystyle{ x}\) może być dowolną liczbą, stąd wniosek, że nie możemy określić wartości liczby \(\displaystyle{ x}\).

[leg14]

Poszukjaca, to nie jest poprawne rozumowanie.

[Poszukujaca]

leg14, ale które rozumowanie, moje?

[leg14]

Tak

[Poszukujaca]

leg14, to teraz proszę o wyjaśnienie, dlaczego moje rozumowanie jest niepoprawne

[leg14]

Poszukujaca, Pokazałaś :
\(\displaystyle{ jeśli \frac{0}{0}=x \Rightarrow W(x)}\) (x ma wlasnosc W)
Istotnie zachodzi \(\displaystyle{ \forall_{x \in \RR} W(x)}\)
I wnioskujesz \(\displaystyle{ x}\) nei moze miec nadanej wartości. Bzdura.
To samo rozumowanie można zaprząc do wykazania, że zero nie ma określonej wartości(!):
Załóżmy, że \(\displaystyle{ 0=x}\)
Z aksjomatów ciała liczb rzeczywistych mamy \(\displaystyle{ 0=0 \cdot 0 =x \cdot 0}\). ALe
\(\displaystyle{ 0 = 0\cdot x}\) dla wszystkich lczb rzeczywistych x, zatem zero nie moze miec okreslonej wartosci.

-- 11 lis 2017, o 12:10 --

Kalkulatorek, nie ma co zakładać, że \(\displaystyle{ 0 \cdot \frac 1 0}\) ma pewną wartość, bo w dalszy mrozumowaniu korzystasz z tego, że istnieje odwrotność zera, czyli zakładasz, że \(\displaystyle{ 0 \cdot \frac 1 0 =1}\) (czyli nadajesz mu wartość jak najbardziej konkretną)

I równość \(\displaystyle{ \frac{0}{0}= 1 = \frac{1}{0}}\) jest jedyną możliwością, bo utożsamiamy ułamki \(\displaystyle{ \frac{a}{b} ; \frac{c}{d}}\) takie, że \(\displaystyle{ ad =bc}\). Zatem \(\displaystyle{ 1}\) jest zerem.

[Poszukujaca]

leg14, ok, faktycznie.

No więc jak zapisałbyś to rozumowanie poprawnie?

[a4karo]

leg14, ok, faktycznie.

No więc jak zapisałbyś to rozumowanie poprawnie?

Chyba nie da się niepoprawnego rozumowania poprawnie zapisać

[Poszukujaca]

Dobrze Nietrudno się jednak domyślić, że teraz stoje przed dylematem jak poprawnie uzasadnić, posługując się np aksjomatami, że symbol \(\displaystyle{ 0/0}\) jest nieoznaczony. Oto też chciałam zapytać i jak domnienam autor tematu również

[a4karo]

W przypadku liczb rzeczywistych sympatycznym jest uzasadnienie z teorii granic:
\(\displaystyle{ \left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{x}=3}\)
\(\displaystyle{ \left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to 0}\frac{5x}{x}=5}\)
\(\displaystyle{ \left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{x^2}=???}\)

[Poszukujaca]

Gdy trafiamy na ten symbol przy granicach, to mogą wyjść po prostu różne liczby, właściwie każda liczba rzeczywista oraz nieskończoność (plus lub minus) - tak jak w granicy trzeciej podanej wyżej.

Jakiś czas temu oglądałam pewien filmik w internecie, który w podobny sposób jak ja wyżej tłumaczył, dlaczego wynik dzielenia zera przez zero jest nieokreślony. Utkwiło mi w głowie takie rozumowanie i go tutaj powieliłam, ale ten przypadek pokazuje mi z jakim dystansem i krytycznym okiem trzeba podchodzić do treści znajdywanych w sieci. Dzięki!