Strona 1 z 1
Dowodzenie podzielności wyrazenia
: 5 lis 2017, o 12:19
autor: Biel124
Jeśli \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) są naturalne i \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} | c^{2} + d^{2}}\), udowodnij, że suma dwóch losowo wybranych z następujących jednomianów: \(\displaystyle{ a^{2} c^{2} , a^{2} d^{2} , b^{2} c^{2} , b^{2} d^{2}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2}}\). (można dwa razy wylosować ten sam jednomian)
Dowodzenie podzielności wyrazenia
: 5 lis 2017, o 12:34
autor: PoweredDragon
Powiedzmy, że
\(\displaystyle{ c^2+d^2 = k(a^2+b^2)}\)
Zatem mamy:
\(\displaystyle{ a^2 = \frac{c^2+d^2-kb^2}{k}}\)
\(\displaystyle{ a^2 c^2 =\frac{c^4+c^2 d^2-kb^2 c^2}{k}}\)
\(\displaystyle{ a^2 d^2 + a^2 c^2 = \frac{c^4+2c^2 d^2+d^4 - kb^2 (c^2+d^2)}{k} = \frac{(c^2+d^2)(c^2+d^2-kb^2)}{k} = (a^2+b^2)(c^2+d^2-kb^2)}\)
Analogicznie można zrobić, jak mniemam, inne przykłady. Nie znalazłem bardziej eleganckiego sposobu :c