Równanie do rozwiązania - matematyka dyskretna

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
rafciobb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 2 lis 2017, o 11:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Równanie do rozwiązania - matematyka dyskretna

Post autor: rafciobb »

Hej! W moim kursie z matematyki dyskretnej otrzymałem do rozwiązania następujące zadanie:

Czy istnieją liczby \(\displaystyle{ p,q,r,s}\) całkowite spełniające
poniższe równania? Jeśli tak, wskaż co najmniej dwie pary takich liczb.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3740p + 357q = 153 \\ 567r + 1281s = 34 \end{cases}}\)

Licząc \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ q}\), skorzystałem z rozszerzonego algorytmu euklidesa i otrzymałem:

\(\displaystyle{ p=-18}\) oraz \(\displaystyle{ q=189}\)

W treści zadania wskazane jest, iż należy znaleźć dwie pary liczb całkowitych które spełniłyby równanie.

Moje pytanie brzmi, w jaki sposób mogę znaleźć drugą parę takich liczb całkowitych.

Z góry bardzo dziękuję!
Ostatnio zmieniony 2 lis 2017, o 12:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Temat umieszczony w złym dziale.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Równanie do rozwiązania - matematyka dyskretna

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ 3740(-18+k \cdot 357) + 357(189-k \cdot 3740) = 153}\)
rafciobb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 2 lis 2017, o 11:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Re: Równanie do rozwiązania - matematyka dyskretna

Post autor: rafciobb »

jak to rozumieć?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Równanie do rozwiązania - matematyka dyskretna

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ 3740(p_0+k \cdot 357) + 357(q_0-k \cdot 3740) = 153\\
3740 p_0+k \cdot 357 \cdot 3740 + 357 q_0-k \cdot 3740 \cdot 357 = 153\\
3740 p_0+ 357 q_0= 153\\}\)


Inne Twoje rozwiązania:
\(\displaystyle{ ....\\
......\\
k=-2: \\
p=-18 -2 \cdot 357 \ \wedge \ q=189+2 \cdot 3740 \\
k=-1: \\
p=-18 -1 \cdot 357 \ \wedge \ q=189+1 \cdot 3740 \\
k=0: \\
p=-18 \ \wedge \ q=189\\
k=1: \\
p=-18 +1 \cdot 357 \ \wedge \ q=189-1 \cdot 3740 \\
k=2: \\
p=-18 +2 \cdot 357 \ \wedge \ q=189-2 \cdot 3740 \\
......}\)
rafciobb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 2 lis 2017, o 11:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Re: Równanie do rozwiązania - matematyka dyskretna

Post autor: rafciobb »

Wielkie dzięki, wszystko już teraz jasne kerajs!

Mam jeszcze pytanko do drugiej części równania tj. :
\(\displaystyle{ 567r + 1281s = 34}\)
Mam odpowiedź mówiącą, że brak jest takich liczb całkowitych, które spełniłyby powyższą równość.
Korzystając z rozszerzonego algorytmu Euklidesa, ustaliłem iż \(\displaystyle{ NWD(567,1281)=21}\).
Skoro liczba \(\displaystyle{ 34}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 21}\) to czy już na tym etapie mogę stwierdzić, iż brak jest rozwiązań?
Ostatnio zmieniony 2 lis 2017, o 16:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Równanie do rozwiązania - matematyka dyskretna

Post autor: Premislav »

Skoro liczba 34 nie jest podzielna przez 21 to czy już na tym etapie mogę stwierdzić, iż brak jest rozwiązań?
Zgadza się.
ODPOWIEDZ