Dzień dobry!
Czy w aksjomatach przedstawionych pod adresem:
... 017_18.pdf
nie brakuje aby charakteryzacji zera i jedynki (za słowem charakteryzacja kryje się, przynajmniej na potrzeby tegoż tematu, wyróżnienie różności przytoczonych elementów neutralnych)?
Jeśli nie - dlaczego aksjomaty te są prawidłowe?
Jeśli tak - dlaczego aksjomaty te są nieprawidłowe?
Dziękując za wyjaśnienie - pozdrawiam,
llu
Aksjomatyka R - charakteryzacja zera i jedynki
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: Aksjomatyka R - charakteryzacja zera i jedynki
W istocie, brakuje faktu, że \(\displaystyle{ 0 \neq 1}\). Jednakże, gdyby \(\displaystyle{ 0 = 1}\), to
\(\displaystyle{ x \cdot 0 = x}\)
dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\). Z drugiej strony - wiemy, że \(\displaystyle{ 0 + 0 = 0}\). Wobec tego
\(\displaystyle{ x = x \cdot 0 = x \cdot (0 + 0) = x \cdot 0 + x \cdot 0 = x + x}\)
i wtedy
\(\displaystyle{ x = 0}\)
dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\). Zatem jedynym zbiorem spełniającym te aksjomaty takim, że \(\displaystyle{ 0=1}\) jest \(\displaystyle{ \{ 0 \}}\).
\(\displaystyle{ x \cdot 0 = x}\)
dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\). Z drugiej strony - wiemy, że \(\displaystyle{ 0 + 0 = 0}\). Wobec tego
\(\displaystyle{ x = x \cdot 0 = x \cdot (0 + 0) = x \cdot 0 + x \cdot 0 = x + x}\)
i wtedy
\(\displaystyle{ x = 0}\)
dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\). Zatem jedynym zbiorem spełniającym te aksjomaty takim, że \(\displaystyle{ 0=1}\) jest \(\displaystyle{ \{ 0 \}}\).