dowód, silnia, podzielność

[takamatematyka]

Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ y>5}\), \(\displaystyle{ y!}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 9}\)

[AiDi]

Żeby liczba była podzielna przez \(\displaystyle{ 9}\) to w jej rozkładzie na czynniki pierwsze musi się pojawić co najmniej dwa razy liczba \(\displaystyle{ 3}\). Zastanów się skąd te dwie \(\displaystyle{ 3}\) mogą się brać.

[Janusz Tracz]

Może wydać się to nadmiarowe ale można to zrobić indukcyjnie.
1) \(\displaystyle{ \frac{6!}{9}\in\ZZ}\)
2) \(\displaystyle{ \frac{y!}{9}=k\in\ZZ \Rightarrow \frac{(y+1)!}{9}=k(y+1)\in\ZZ}\)
Co kończy dowód.
Oczywiście \(\displaystyle{ y\in \NN}\) i \(\displaystyle{ y \ge 6}\)

[a4karo]

Trochę nadmiarowe, zważywszy, że
\(\displaystyle{ 9\cdot 80=720=6!|y!}\)