liczby wymierne i całkowite

[klimat]

Wiemy że \(\displaystyle{ x , y, z}\) są wymierne oraz sumy \(\displaystyle{ x^2+y^2+z , y^2+z^2+x, x^2+z^2+y}\) są całkowite. Wykazać że \(\displaystyle{ 2x}\) jest tez całkowite.

[arek1357]

jak odejmiemy stronami i zamienimy na iloczyn otrzymamy:

\(\displaystyle{ (z-y)(z+y-1)=a , (y-x)(y+x-1)=b, (x-z)(x+z-1)=c, a,b,c \in Z}\)

Zapiszmy ten układ równań w pierścieniu ilorazowym:

\(\displaystyle{ Q_{|Z}}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ (z'-y')(z'+y')=0 , (y'-x')(y'+x')=0, (x'-z')(x'+z')=0}\)

z tego układu rozwiązania będą:

\(\displaystyle{ ( \pm t, \pm t, \pm t)}\)

z warunków zadania mamy:

\(\displaystyle{ t^2+t^2+t=0 \vee t^2+t^2-t=0}\)

lub:

\(\displaystyle{ 2t^2=-t \vee 2t^2=t}\)

pierścień nie ma dzielników zera więc rozwiązania będą:

\(\displaystyle{ t=0 \vee t=- \frac{1}{2}= \frac{1}{2}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ 2t=0}\)

a co za tym idzie:

\(\displaystyle{ 2x, 2y, 2z \\}\)jest całkowite...