podzielność i liczby pierwsze

[klimat]

Czy prawdziwe jest takie twierdzenie:
Dla dostatecznie duzej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\), istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ q>p}\) taka że \(\displaystyle{ q | (2^{p-1}-1).}\)

[Rafsaf]

Nie.

Z Małego tw Fermata wynika że \(\displaystyle{ p | (2^{p-1}-1)}\) o ile \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ p}\) są względnie pierwsze, co zachodzi zawsze z wyjątkiem sytuacji \(\displaystyle{ p=2}\), którą i tak odrzucamy

A skoro tak to załóżmy że istnieje taka liczba pierwsza \(\displaystyle{ q>p}\) że \(\displaystyle{ q | (2^{p-1}-1)}\) co przy założeniu \(\displaystyle{ p | (2^{p-1}-1)}\) prowadzi do sprzeczności, bo \(\displaystyle{ q}\) musi być wielokrotnością \(\displaystyle{ p}\), więc nie jest liczbą pierwszą.

[a4karo]

Słaby to argument, bo \(\displaystyle{ 31|2^{10}-1}\)

[Brombal]

\(\displaystyle{ 43| 2^{29-1} -1}\)
\(\displaystyle{ 73| 2^{19-1} -1}\)
\(\displaystyle{ 73| 2^{37-1} -1}\)
\(\displaystyle{ 89| 2^{32-1} -1}\)
\(\displaystyle{ 109| 2^{37-1} -1}\)
\(\displaystyle{ 127| 2^{37-1} -1}\)
\(\displaystyle{ 151| 2^{31-1} -1}\)
Tak na szybkiego