Znajdowanie wzoru zwartego ciągu rekurencyjnego

[Scrub]

Mamy ciąg rekurencyjny:

\(\displaystyle{ a_{n}=\begin{cases}
3, \ \ \ n = 0;
\\
8, \ \ \ n = 1;
\\4(a_{n-1}-a_{n-2}), \ \ \ n \le 2;
\end{cases}}\)

Wzór zwarty tego ciągu: \(\displaystyle{ a_{n}=(n+3)2^{n}}\)
Pytanie jak uzyskać ten wzór? Wiem, że trzeba utworzyć specjalny wielomian, jeżeli się nie mylę to będzie on wyglądał tak:
\(\displaystyle{ \lambda^{2}-4\lambda+4=0 \\ (\lambda-2)(\lambda-2)=0}\)

Teraz trzeba ułożyć jakiś układ równań i go rozwiązać.
Jaki utworzyć ten układ?

//mam nadzieję, że to dobry dział

[Premislav]

Skoro masz podwójny pierwiastek równania charakterystycznego, równy \(\displaystyle{ 2}\), to rozwiązanie ogólne będzie postaci
\(\displaystyle{ a_n=A\cdot 2^n+B\cdot {\red n}\cdot 2^n}\)
dla pewnych stałych \(\displaystyle{ A, B}\), które wyznaczasz np. z układu
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_0=A\cdot 2^0+B\cdot 0\cdot 2^0\\a_1=A\cdot 2^1+B\cdot 1\cdot 2^1\end{cases}}\)
czyli wstawiasz w tym wzorze ogólnym \(\displaystyle{ n=0, n=1}\)-- 13 paź 2017, o 13:03 --W ogóle jest trochę więcej sposobów na takie rekurencje, np. funkcje tworzące (polecam!) czy przepisanie tej rekurencji w terminach macierzy i użycie diagonalizacji macierzy lub, w przypadku otrzymania macierzy niediagonalizowalnej, postaci Jordana.

[Scrub]

Zrobiłem tak jak napisałeś i udało się, a rozwiązywać muszę tym sposobem (egzamin).

Spróbowałem innego przykładu i już mi nie wychodzi.
Mam w nim trzy pierwiastki:
\(\displaystyle{ \lambda = -2,\ \lambda = 3,\ \lambda = 3}\)

Czyli rozwiązanie będzie postaci:
\(\displaystyle{ a_n=A\cdot (-2)^n+B\cdot n\cdot 3^n+C\cdot n^{2}\cdot 3^n}\)
?

[Premislav]

Nie, masz jeden pierwiastek podwójny, którym jest \(\displaystyle{ 3}\), zatem rozwiązanie ogólne będzie postaci \(\displaystyle{ a_n=A\cdot (-2)^n+B\cdot 3^n+C\cdotn n\cdot 3^n}\).
Stałe \(\displaystyle{ A, B, C}\) znajdujesz podstawiając \(\displaystyle{ n=0, n=1, n=2}\) i rozwiązując układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi.

[Scrub]

Dzięki, to działa!
Czyli gdyby pierwiastek \(\displaystyle{ \lambda = 3}\) w tym przykładzie był trzykrotny, to mielibyśmy \(\displaystyle{ a_n=A\cdot (-2)^n+B\cdot 3^n+C \cdot n\cdot 3^n+D\cdot n^2\cdot 3^n}\)?

[Premislav]

Zgadza się.