Błędny dowód na niewymierność

[AvaPL]

Witam wszystkich.
Na wstępie ostrzegam, że to jest post, który dotyczy kompletnej głupoty, ale po prostu nie jestem w stanie wskazać błędu w tym rozumowaniu. Przyszła mi na myśl pewna abominacja dowodu. Każdy kojarzy, że niewymierność np. \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) dowodzimy nie wprost. Ale czy analogicznie nie możemy dowieść niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\)? Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\) jest liczbą wymierną w postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), gdzie p i q są względnie pierwsze. Skrótowo, podnosimy do kwadratu, po przekształceniu dochodzimy do wniosku, że \(\displaystyle{ p}\) jest podzielne przez 4, z czego wynika, że też \(\displaystyle{ q}\) jest podzielne przez 4 co jest sprzeczne z założeniem, że te liczby są względnie pierwsze. Gdzie jest błąd tego rozumowania? Nie daje mi to spokoju od dobrych kilku godzin

[szw1710]

Popatrz: dochodzisz do równania \(\displaystyle{ p^2=4q^2}\) i tu jest jeszcze analogia z \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Ale potem masz \(\displaystyle{ p=2q}\) co da się rozwiązać: \(\displaystyle{ 4=\frac{4q^2}{q^2}}\) i nie dochodzimy do sprzeczności.

Z tego, że \(\displaystyle{ p^2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\) (to jest napisane w pierwszej linii mojej odpowiedzi) nie wynika, że \(\displaystyle{ p}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\). Zobacz na \(\displaystyle{ p=6}\). Tu jest błąd. To przechodzi dla liczb pierwszych w roli podzielników. Dwójkę \(\displaystyle{ 4=2\cdot 2}\) można rozdystrybuować pomiędzy oba czynniki w kwadracie. Liczby pierwszej tak nie porozdzialasz. Jeśli więc kwadrat jakiejś jest podzielny przez liczbę pierwszą, to sama ta liczba tez musi być przez nią podzielna.

[AvaPL]

Prawda, do tej pory jak robiłem tego typu dowody nie zwracałem uwagi na tą podzielność \(\displaystyle{ p}\), przepisywałem to mechanicznie, co zresztą widać po poście tytułowym Dziękuję za wyjaśnienie.