Udowodnić podzielność przez 10

[osa750]

Wykaż, że wyrażenie: \(\displaystyle{ 2^{15}+3^{24}+4^{22}+5^{37}}\) jest podzielne przez 10. Jakieś pomysły jak to ugryźć?

[a4karo]

Przyjrzyj się ostatniej cyfrze (fachowiec nazwie to liczeniem modulo 10).

[osa750]

Pierwsze będzie mieć za cyfrę jedności 8, drugie 1, trzecie 6, czwarte 5. Suma liczb z takimi cyframi jedności da liczbę z cyfra jedności równą zero. A więc podzielną przez 10.

Też tak początkowo myślałem, ale zastanawiałem się czy nie ma jakiegoś innego, ładniejszego sposobu

[a4karo]

A ten nie jest ładny.? W matematyce ładne jest to, co proste

[osa750]

Właśnie myślałem ciągle o jakimś wyciąganiu przed nawiasy i takie tam... Cóż, mimo wszystko dziękuję

[xxDorianxx]

Pozwolę sobie to rozwiązać trochę nie eleganckim sposobem.
Wiemy że liczba jest podzielna przez dziesięć gdy jej ostatnia cyfra to \(\displaystyle{ 0}\)
wyniki potęgowania dwójki: \(\displaystyle{ 2,4,8,16,32,64}\)... nie trudno zauważyć powtarzający się tutaj cykl ostatnich liczb.Cykle ten jest następujący: \(\displaystyle{ 2,4,8,6}\)
dla liczby 3 mamy cykl taki \(\displaystyle{ 3,9,7,1}\)
dla liczby 4 mamy cykl taki \(\displaystyle{ 4,6}\)
dla liczby 5 mamy tylko \(\displaystyle{ 5}\)(bo \(\displaystyle{ 5,25,125}\)...)
dla liczby \(\displaystyle{ 2 ^{15}}\) ostatnia cyfra to \(\displaystyle{ 8}\)
dla liczby \(\displaystyle{ 3 ^{24}}\) ostatnia cyfra to \(\displaystyle{ 1}\)
dla liczby \(\displaystyle{ 4 ^{22}}\) ostatnia cyfra to \(\displaystyle{ 6}\)
dla liczby \(\displaystyle{ 5 ^{37}}\) ostatnia cyfra to \(\displaystyle{ 5}\)
dodajmy sobie te nasze ostatnie cyfry \(\displaystyle{ 8+1+6+5=20}\) ostatnia cyfra to \(\displaystyle{ 0}\)
Przez to udowodniliśmy że wyrażenie \(\displaystyle{ 2^{15}+3^{24}+4^{22}+5^{37}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 10}\). -- 8 paź 2017, o 21:08 --No i mnie wyprzedzili,heh