Proste rozkłady

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że ilość podziałów liczby naturalnej na parzyste składniki jest równa ilości podziałów w których każdy składnik jest parzystą ilość razy.

\(\displaystyle{ 6= 2+4 =2+2+2 = 6 \

6= 1+1+ 2+2 = 3+3=1+1+1+1+ 1+1}\)
itp.

[Premislav]

To zadanie w istocie wygląda na proste, choć może się mylę.
Łatwo widać, że zarówno w postaci sumy parzystych składników, jak i sumy, w której każdy składnik (jako wartość) występuje parzyście wiele razy można przedstawić tylko liczby parzyste.
Zauważmy, że liczba podziałów liczby \(\displaystyle{ 2n}\) na parzyste (całkowite dodatnie oczywiście) składniki odpowiada liczbie podziałów liczby \(\displaystyle{ n}\) na jakiekolwiek całkowite dodatnie składniki (wystarczy każdy składnik w takim podziale liczby \(\displaystyle{ 2n}\) podzielić przez \(\displaystyle{ 2}\)).
Analogicznie ta druga liczba: każdy podział tego typu powstaje tak, że bierzemy sobie dowolny podział liczby \(\displaystyle{ n}\) na sumę całkowitych dodatnich składników i powtarzamy każdy składnik.
Coś za trywialne to się zdaje.