kwadrat liczby naturalnej

[patrycja9898]

Hejo:) Robię takie zadanie i mam z nim problem.
Czy liczba \(\displaystyle{ a=2 \cdot 3^{2013}+3 \cdot 5^ {2014}+4 \cdot 7^{2015}}\) może być kwadratem liczby naturalnej?

W odpowiedzi podano wskazówkę, że ostatnia cyfra tej liczby to 8. Jak to uzasadnić?

[mol_ksiazkowy]

Czy ta liczba jest parzysta ...?

[patrycja9898]

Jeśli kończy się 8 to chyba musi być parzysta. A coś jest nie tak?

[Premislav]

No, jak słusznie zauważył mol_ksiazkowy, coś nie tak z tą wskazówką, ta liczba jest nieparzysta, gdyż jest sumą dwóch liczb parzystych i jednej nieparzystej.

[patrycja9898]

A już odchodząc od tego zadania to nadal kwestia otwarta pozostaje moje pytanie jak sprawdzić ostatnia liczbę takiej dużej liczby?

[Premislav]

Modulo \(\displaystyle{ 10}\).
Mamy
\(\displaystyle{ 3^2 \equiv -1 \pmod{10}\\5^k \equiv 5\pmod{10}, k \in \NN^+\\7^2 \equiv -1 \pmod{10}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ 2 \cdot 3^{2013}+3 \cdot 5^ {2014}+4 \cdot 7^{2015}\equiv \left(6\cdot (-1)^{1006}+3\cdot 5+28 \cdot (-1)^{1007}\right) \pmod{10}}\)
czyli ta Twoja liczba daje resztę \(\displaystyle{ 3}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 10}\). No ale \(\displaystyle{ 3}\) nie jest resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ 10}\), więc ta liczba to nie jest kwadrat liczby naturalnej.-- 27 wrz 2017, o 23:23 --Od dzieciństwa nierzadko mylę się w obliczeniach, więc na wszelki wypadek sprawdziłem i jest OK:

[arek1357]

Od dzieciństwa nierzadko mylę się w obliczeniach, więc na wszelki wypadek sprawdziłem i jest OK:

Owszem można się mylić na wielkich liczbach ale takie maleństwo toż to podstawówka pierwszy etap nauczania nie możesz się na tym mylić...

[Premislav]

Proszę mi nie mówić, co ja mogę, a czego nie mogę, bo zobaczymy się w sadzie. Już wysyłam pozew