Elementarny dowód

[Poszukujaca]

Udowodnić, że nie istnieje najmniejsza liczba wymierna większa od \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).

[a4karo]

Załóż, że \(\displaystyle{ \alpha>\sqrt{2}}\) JEST najmniejszą liczba wymierną. Co stąd wynika?

[Poszukujaca]

Próbuje jakoś przekształcić powyższą nierówność i tym sposobem znaleźć liczbę zależną od \(\displaystyle{ \alpha}\), która jest mniejsza od \(\displaystyle{ \alpha}\) i jednocześnie większa od \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Myślę, że taki dowód byłby kompletny, ale chyba dobieram nietrafne przekształcenia.

[Premislav]

Zależy z czego możesz korzystać. Jeżeli nie chcesz używać żadnych argumentów związanych z gęstością, to może tak: przypuśćmy nie wprost, że istnieje najmniejsza liczba wymierna \(\displaystyle{ a}\) spełniająca \(\displaystyle{ a>\sqrt{2}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac 1 n=0}\), zatem w szczególności istnieje takie \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\), że \(\displaystyle{ a-\frac 1 n>\sqrt{2}}\) (nawet nieskończenie wiele takich \(\displaystyle{ n}\)), gdyż \(\displaystyle{ a-\sqrt{2}>0}\). Weźmy taką liczbę \(\displaystyle{ n}\). Wtedy \(\displaystyle{ a-\frac{1}{n}}\) jest wymierna jako różnica liczb wymiernych i \(\displaystyle{ a-\frac 1 n<a}\), sprzeczność.

Jeżeli nie chcesz korzystać nawet z granic, to też się da, ale nie pamiętam jak.

-- 22 wrz 2017, o 17:45 --

Właściwie dowód nie wprost nie jest potrzebny, a poza tym przypomniałem sobie jeszcze ten wątek:
Liczby wymierne i niewymierne.