Znalezienie pary liczb naturalnych

[CoffeeAddict]

Proszę znaleźć wszystkie liczby naturalne, których różnica równa się ich podwojnemu ilorazowi, czyli

\(\displaystyle{ a,b \in N}\)
\(\displaystyle{ a- b = 2 \frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ Z: b > 0 ;
a>b;
a - b > 2}\)

Jak udowodnić jakie to liczby?

Z góry dziękuję za pomoc

[Takahashi]

\(\displaystyle{ a - b \in \mathbb N}\), więc \(\displaystyle{ a = k b}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb N}\). Stąd \(\displaystyle{ b (k-1) = 2k}\), czyli \(\displaystyle{ b = \frac{2k - 2}{k-1} + \frac{2}{k-1}}\), zatem \(\displaystyle{ k = 3}\), \(\displaystyle{ b = 3}\), \(\displaystyle{ a = 9}\).

[a4karo]

\(\displaystyle{ a - b \in \mathbb N}\), więc \(\displaystyle{ a = k b}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb N}\). Stąd \(\displaystyle{ b (k-1) = 2k}\), czyli \(\displaystyle{ b = \frac{2k - 2}{k-1} + \frac{2}{k-1}}\), zatem \(\displaystyle{ k = 3}\), \(\displaystyle{ b = 3}\), \(\displaystyle{ a = 9}\).

\(\displaystyle{ 5-2\in\NN}\), więc \(\displaystyle{ 5}\) jest parzyste????

[Takahashi]

Wtopa Powyższe jest prawdziwe przy założeniach zadania i dodatkowym warunku, że \(\displaystyle{ b}\) jest nieparzyste. Jeśli jest parzyste, to \(\displaystyle{ b = 2m}\), \(\displaystyle{ a = 2mk}\) i dalej rozwiązujemy podobnie.

[a4karo]

To stwierdzenie:

\(\displaystyle{ a - b \in \mathbb N}\), więc \(\displaystyle{ a = k b}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb N}\)

jest nieprawdziwe, a kontrprzykłady znaleźć można nie tylko w przypadku parzystych \(\displaystyle{ b}\)

Mnożąc przez \(\displaystyle{ b}\) dostajemy
\(\displaystyle{ ab-b^2=2a}\), czyli
\(\displaystyle{ a=\frac{b^2}{b-2}=\frac{(b-2)^2+4b-8+4}{b-2}=b-2+4+\frac{4}{b-2}}\)
a taka równośc jest możliwa tylko dla \(\displaystyle{ b=1,2,4}\)

[kerajs]

Raczej:
\(\displaystyle{ b=3 \vee b=4 \vee b=6}\)

Tam pewnie miało być \(\displaystyle{ b-2=1,2,4}\)

[a4karo]

Raczej:
\(\displaystyle{ b=3 \vee b=4 \vee b=6}\)

Tam pewnie miało być \(\displaystyle{ b-2=1,2,4}\)

Jasne, że tak

EDIT: Teoretycznie mogłoby jeszcze być \(\displaystyle{ b-2=-1}\), ale wtedy nie są spełnione założenia zadania