Dowód NWD

[takamatematyka]

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ \mbox{NWD}\,(m,n)=1}\), to \(\displaystyle{ \mbox{NWD}\,(mn,m+n)=1}\)
\(\displaystyle{ m, n}\) całkowite

Dzięki

[Premislav]

Zauważ, że każdy dzielnik pierwszy liczby \(\displaystyle{ mn}\) jest w szczególności dzielnikiem pierwszym \(\displaystyle{ m}\) lub dzielnikiem pierwszym \(\displaystyle{ n}\), z założenia o \(\displaystyle{ \NWD(m,n)=1}\) wiemy, że można to zastąpić dysjunkcją. Niech więc \(\displaystyle{ d}\) będzie liczbą pierwszą, przez którą dzieli się \(\displaystyle{ mn}\). \(\displaystyle{ d}\) dzieli więc dokładnie jedną z liczb \(\displaystyle{ m,n}\), a więc nie dzieli tej sumy \(\displaystyle{ m+n}\). Stąd można wywnioskować już, że \(\displaystyle{ \NWD(mn, m+n)=1}\)

To rozumowanie nie obejmuje przypadku, gdy \(\displaystyle{ m=1}\) lub \(\displaystyle{ n=1}\), ale ten przypadek jest trywialny, bo zawsze \(\displaystyle{ \NWD(k, k+1)=1}\).