Równanie diofantyczne

[kerajs]

Proszę podać kilka (np: pięć) rozwiązań równania:
\(\displaystyle{ y^2+z^2=5x^2}\)
o jak najmniejszym \(\displaystyle{ x}\), spełniającego dodatkowe warunki:
\(\displaystyle{ left( x,y,z in NN
ight) wedge left( y>x
ight) wedge left( z>x
ight)}\)


PS
Przykładowe równania które nie spełniają warunków zadania:
\(\displaystyle{ 5^2+(2 cdot 5)^2=5 cdot 5^2\
2^2+11^2=5 cdot 5^2}\)

PPS
Wynik z najmniejszą sumą \(\displaystyle{ x+y+z}\) będzie rozwiązaniem zadania 21. w temacie 424100.htm

[Elayne]

Na przykład:
\(\displaystyle{ 19^2+22^2=5\cdot13^2}\)

[kerajs]

Kolejne to:
\(\displaystyle{ 22^2+31^2=5 \cdot 17^2\\
38^2+41^2=5 \cdot 25^2}\)

Miałem nadzieję że ktoś napisze programik i poda kilka rozwiązań.

[HelperNES]

Tak w sumie \(\displaystyle{ 5=1^2+2^2}\)

Niech więc \(\displaystyle{ x}\) będzie liczbą rozkładalną na sumę dwóch kwadratów \(\displaystyle{ x=a^2+b^2}\)

Łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ x^2=(a^2+b^2)^2=a^4 + 2a^2b^2+b^2=4a^2b^2 + a^4-2a^2b^2+b^4=(2ab)^2+(a^2-b^2)^2}\)
Czyli kwadrat liczby rozkładalnej jest również liczbą rozkładalną

Dodatkowo wiemy że, \(\displaystyle{ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2}\)

W takim razie, jeżeli \(\displaystyle{ x}\) jest w taki sposób rozkładalne, to \(\displaystyle{ 5x^2}\) też

Tw. Fermata o rozkładzie liczby pierwszej na sumę dwóch różnych kwadratów:
Jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą postaci \(\displaystyle{ p=4k+1}\) to jest rozkładalna na sumę dwóch różnych kwadratów

Mając to wszystko możemy łatwo wyliczyć wiele par \(\displaystyle{ (y,z)}\)

Niech \(\displaystyle{ x=5=4 \cdot 1+1}\) , wtedy \(\displaystyle{ (1^2+2^2)^3=(1^2+2^2)(4^2+3^2)=5^2+10^2\ \wedge\ (1^2+2^2)(4^2+3^2)=2^2+11^2}\)

Czyli na przykład równanie spełniają trójki \(\displaystyle{ (5,5,10),(5,10,5),(5,2,11),(5,11,2)}\)

Teraz patrząc na kolejne liczby pierwsze spełniające warunek, możemy wydobyć interesujące nas przypadki, lecz od razu widać że pierwszy z nich i minimalny to \(\displaystyle{ x=13}\)

[kerajs]

Jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą postaci \(\displaystyle{ p=4k+1}\) to jest rozkładalna na sumę dwóch różnych kwadratów

Mając to wszystko możemy łatwo wyliczyć wiele par \(\displaystyle{ (y,z)}\)

co wcale nie oznacza możliwości wyznaczenia 5 (teraz 8 bo trzy są już podane) rozwiązań o najmniejszym \(\displaystyle{ x}\).
\(\displaystyle{ 25}\) nie jest liczbą pierwszą, a mimo to zachodzi \(\displaystyle{ 38^2+41^2=5 \cdot 25^2}\) .

[Elayne]

Moim skromnym zdaniem, tego typu zadanie dla początkowych liczb najlepiej rozwiązywać graficznie. Kolejne liczby to:
\(\displaystyle{ 38^2 + 44^2 = 5 \cdot 26^2\\
44^2 + 62^2 = 5 \cdot 34^2\\
58^2 + 59^2 = 5 \cdot 37^2\\
57^2 + 66^2 = 5 \cdot 39^2\\
58^2 + 71^2 = 5 \cdot 41^2\\
76^2 + 82^2 = 5 \cdot 50^2}\)

[HelperNES]

kerajs, Podałem twierdzenie tylko dla liczb pierwszych. Dla \(\displaystyle{ 25}\) będzie też zachodzić, ponieważ jak napisałem w rozumowaniu kwadrat liczby rozkładalnej, też jest rozkładalny.

\(\displaystyle{ 25=5^2=(1^2+2^2)^2=4^2 + 3^2}\)

Jak również iloczyn rozkładalnych liczb jest rozkładalny, więc możemy z dowolnych \(\displaystyle{ p=4n+1}\) też tworzyć liczby złożone.

Ogólniejsze twierdzenie wygląda tak:
Liczba \(\displaystyle{ x}\) jest rozkładalna na sumę dwóch różnych kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy jej czynnikami pierwszymi są tylko liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4n+1}\) i liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4n+3}\) z parzystą krotnością

Przykład:
\(\displaystyle{ 45=3^2\cdot5=3^2(1^2+2^2)=3^2+6^2}\)

Szczególnym przypadkiem jest \(\displaystyle{ 2}\), ponieważ \(\displaystyle{ 2(a^2+b^2)=2a^2+2b^2=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=(a-b)^2+(a+b)^2}\)

[kerajs]

Nie negowałem poprawności i użyteczności Twojego rozwiązania. Wskazywałem jedynie na jego niepełną zgodność z treścią zadania.

[Elayne]

Ukryta treść:    

Liczby pierwsze w postaci \(\displaystyle{ 4n+1}\), mniejsze od \(\displaystyle{ 200}\):

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{ccc}
\blue \ \ 5 = 1^2 + 2^2 & \magenta 61 = 5^2 + 6^2 & \blue 137 = 4^2 + 11^2 \\
\magenta 13 = 2^2 + 3^2 & \blue 73 = 3^2 + 8^2 & \magenta 149 = 7^2 + 10^2 \\
\magenta 17 = 1^2 + 4^2 & \magenta 89 = 5^2 + 8^2 & \magenta 157 = 6^2 + 11^2 \\
\blue 29 = 2^2 + 5^2 & \blue 97 = 4^2 + 9^2 & \magenta 173 = 2^2 + 13^2 \\
\magenta 37 = 1^2 + 6^2 & \magenta 101 = 1^2 + 10^2 & \magenta 181 = 9^2 + 10^2 \\
\magenta 41 = 4^2 + 5^2 & \magenta 109 = 3^2 + 10^2 & \magenta 193 = 7^2 + 12^2 \\
\magenta 53 = 2^2 + 7^2 & \magenta 113 = 7^2 + 8^2 \ \ & \magenta 197 = 1^2 + 14^2 \\
\end{tabular}}\)

Rozwiązania w pierwszej setce:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{cc}
5 \cdot 13^2 = 19^2 + 22^2 & 5 \cdot 61^2 = 82^2 + 109^2 \\
5 \cdot 17^2 = 22^2 + 31^2 & 5 \cdot 65^2 = 79^2 + 122^2 \\
5 \cdot 25^2 = 38^2 + 41^2 & 5 \cdot 65^2 = 95^2 + 110^2 \\
5 \cdot 26^2 = 38^2 + 44^2 & 5 \cdot 68^2 = 88^2 + 124^2 \\
5 \cdot 34^2 = 44^2 + 62^2 & 5 \cdot 74^2 = 116^2 +118^2 \\
5 \cdot 37^2 = 58^2 + 59^2 & 5 \cdot 75^2 = 114^2 + 123^2 \\
5 \cdot 39^2 = 57^2 + 66^2 & 5 \cdot 78^2 = 114^2 + 132^2 \\
5 \cdot 41^2 = 58^2 + 71^2 & 5 \cdot 82^2 = 116^2 + 142^2 \\
5 \cdot 50^2 = 76^2 + 82^2 & 5 \cdot 85^2 = 110^2 + 155^2 \\
5 \cdot 51^2 = 66^2 + 93^2 & 5 \cdot 85^2 = 118^2 + 149^2 \\
5 \cdot 52^2 = 76^2 + 88^2 & 5 \cdot 89^2 = 121^2 + 158^2 \\
5 \cdot 53^2 = 62^2 + 101^2 & 5 \cdot 91^2 = 133^2 + 154^2 \\
\end{tabular}}\)

Rozwiązania w drugiej setce:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{cc}
5 \cdot 100^2 = 152^2 + 164^2 & 5 \cdot 153^2 = 198^2 + 279^2 \\
5 \cdot 101^2 = 139^2 + 178^2 & 5 \cdot 156^2 = 228^2 + 264^2 \\
5 \cdot 102^2 = 132^2 + 186^2 & 5 \cdot 157^2 = 179^2 + 302^2 \\
5 \cdot 104^2 = 152^2 + 176^2 & 5 \cdot 159^2 = 186^2 + 303^2 \\
5 \cdot 106^2 = 124^2 + 202^2 & 5 \cdot 164^2 = 323^2 + 284^2 \\
5 \cdot 109^2 = 122^2 + 211^2 & 5 \cdot 169^2 = 247^2 + 286^2 \\
5 \cdot 111^2 = 174^2 + 177^2 & 5 \cdot 170^2 = 220^2 + 310^2 \\
5 \cdot 113^2 = 142^2 + 209^2 & 5 \cdot 170^2 = 236^2 + 298^2 \\
5 \cdot 117^2 = 171^2 + 198^2 & 5 \cdot 173^2 = 269^2 + 278^2 \\
5 \cdot 119^2 = 154^2 + 217^2 & 5 \cdot 175^2 = 266^2 + 287^2 \\
5 \cdot 122^2 = 164^2 + 218^2 & 5 \cdot 178^2 = 242^2 + 316^2 \\
5 \cdot 123^2 = 174^2 + 213^2 & 5 \cdot 181^2 = 218^2 + 341^2 \\
5 \cdot 125^2 = 190^2 + 205^2 & 5 \cdot 182^2 = 266^2 + 308^2 \\
5 \cdot 130^2 = 158^2 + 244^2 & 5 \cdot 183^2 = 246^2 + 327^2 \\
5 \cdot 130^2 = 190^2 + 220^2 & 5 \cdot 185^2 = 202^2 + 361^2 \\
5 \cdot 136^2 = 176^2 + 248^2 & 5 \cdot 185^2 = 290^2 + 295^2 \\
5 \cdot 143^2 = 209^2 + 242^2 & 5 \cdot 187^2 = 242^2 + 341^2 \\
5 \cdot 145^2 = 178^2 + 271^2 & 5 \cdot 193^2 = 241^2 + 358^2 \\
5 \cdot 145^2 = 191^2 + 262^2 & 5 \cdot 195^2 = 237^2 + 366^2 \\
5 \cdot 148^2 = 232^2 + 236^2 & 5 \cdot 195^2 = 285^2 + 330^2 \\
5 \cdot 149^2 = 229^2 + 242^2 & 5 \cdot 197^2 = 251^2 + 362^2 \\
5 \cdot 150^2 = 228^2 + 246^2 & 5 \cdot 200^2 = 304^2 + 328^2 \\
\end{tabular}}\)